63. 變幻無(wú)窮的彩燈

    少年宮游樂(lè)廳內(nèi)懸掛著200 個(gè)彩色燈泡，這些燈或亮或暗，變幻無(wú)窮。

    200 個(gè)燈泡按1 ～200 編號(hào)。燈泡的亮暗規(guī)則是：第1 秒，全部燈泡變亮；
第2 秒，凡編號(hào)為2 的倍數(shù)的燈泡由亮變暗；第3 秒，凡編號(hào)為3 的倍數(shù)的燈泡
改變?cè)瓉?lái)的亮暗狀態(tài)（即亮的變暗，暗的變亮）；第4 秒，凡編號(hào)為4 的倍數(shù)的
燈泡改變?cè)瓉?lái)亮暗狀態(tài)。這樣繼續(xù)下去，……200 秒為一周期。當(dāng)?shù)?00 秒時(shí)，
哪些燈是亮著的？

    分析與解

    在解答這個(gè)問(wèn)題時(shí)，我們要用到這樣一個(gè)知識(shí)：任何一個(gè)非平方數(shù)，它的全
體約數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)；任何一個(gè)平方數(shù)，它的全體約數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)。例如，6
和18都是非平方數(shù)，6 的約數(shù)有：1 、2 、3 、6 ，共4 個(gè)；18的約數(shù)有1 、2 、
3 、6 、9 、18，共6 個(gè)。它們的約數(shù)的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)。又例如，16和25都是平
方數(shù)，16的約數(shù)有：1 、2 、4 、8 、16，共5 個(gè)；25的約數(shù)有1 、5 、25，共
3 個(gè)。它們的約數(shù)的個(gè)數(shù)都是奇數(shù)。

    回到本題。本題中，最初這些燈泡都是暗的。第一秒，所有燈都變亮了；第
2 秒，編號(hào)為2 的倍數(shù)（即偶數(shù)）的燈由亮變暗；第3 秒，編號(hào)為3 的倍數(shù)的燈
改變?cè)瓉?lái)的亮暗狀態(tài)，就是說(shuō)，3 號(hào)燈由亮變暗，可是6 號(hào)燈則由暗變亮，而9
號(hào)燈卻由亮變暗……。這樣推下去，很難理出個(gè)頭緒來(lái)。

    正確的解題思路應(yīng)該是這樣的：凡是亮暗變化是偶數(shù)次的燈，一定回到最初
狀態(tài)，即是暗著的。只有亮暗變化是奇數(shù)次的燈，才是亮著的。因此，只要考慮
從第1 秒到第200 秒這段時(shí)間，每盞燈變化次數(shù)的奇偶性就可判斷燈的亮暗狀態(tài)。

    一個(gè)號(hào)碼為a 的燈，如果有7 個(gè)約數(shù)，那么它的亮暗變化就是7 次，所以每
盞燈在第200 秒時(shí)是亮還是暗決定于每盞燈的編號(hào)的約數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。我們
已知道，只有平方數(shù)的全部約數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)。這樣1 ～200 之間，只有1 、4 、
9 、16、25、36、49、64、81、100 、121 、144 、169 、196 這14個(gè)數(shù)為平方
數(shù)，因而這些號(hào)碼的燈是亮著的，而其余各盞燈則都是暗著的。

    用奇偶性分析解題，是我們經(jīng)常用的一種解題方法，既靈活又有趣。