71. 有趣的“魔術(shù)數(shù)”

    你知道“魔術(shù)數(shù)”嗎？

    將自然數(shù)N 接寫在另一個自然數(shù)的右邊（例如，將2 接著寫在34的右邊就是
342 ），如果得到的新數(shù)都能被N 整除，那么自然數(shù)N 就叫做魔術(shù)數(shù)。

    小朋友，在小于100 的自然數(shù)中，你能找到多少個這樣的魔術(shù)數(shù)，它們各是
幾？

    分析與解

    我們首先發(fā)現(xiàn)1 就是一個魔術(shù)數(shù)。因為不管把1 寫在哪一個自然數(shù)右邊，所
得的新數(shù)都能被1 整除。在剩下的八個自然數(shù)中，可以斷定3 、4 、6 、7 、8 、
9 這六個自然數(shù)不是魔術(shù)數(shù)。這只要把這六個數(shù)分別接著寫在1 后面就可以明白
了。那么剩下的2 和5 是不是魔術(shù)數(shù)呢？回答是肯定的。

    因為把2 接寫在任何一個自然數(shù)的右邊，所得的新數(shù)的個位上的數(shù)字總是2 ，
這些新數(shù)一定能被2 整除，所以2 是魔術(shù)數(shù)。同樣道理，5 也是魔術(shù)數(shù)，這樣我
們就找到了三個一位魔術(shù)數(shù)：1 、2 、5.我們再尋找兩位魔術(shù)數(shù)。兩位數(shù)從10到
99為止，一共是90個。我們先把每一個兩位數(shù)接寫在1 后面，很快就能發(fā)現(xiàn)，除
了10、20、25、50以外，其余的兩位數(shù)都不能整除被接在1 后面所得的新數(shù)，當(dāng)
然就肯定不是魔術(shù)數(shù)了。那么10、20、25、50這四個數(shù)是不是魔術(shù)數(shù)呢？ 10 是
魔術(shù)數(shù)很容易確定。20也是魔術(shù)數(shù)，因為把20接寫在自然數(shù)a 后面，新數(shù)就是
（100a＋20），而100a＋20=20 ×（5a＋1 ），顯然能被20整除。用上述辦法同
樣可以證明： 25 、50也是魔術(shù)數(shù)。這樣，我們就找到了四個二位魔術(shù)數(shù)10、20、
25、50. 細(xì)心的小朋友從上面找魔術(shù)數(shù)的過程中一定會發(fā)現(xiàn)，一位魔術(shù)數(shù)1 、2 、
5 恰好是10的約數(shù)中所有的一位數(shù)；二位魔術(shù)數(shù)10、20、25、50恰好是100 （102
）的約數(shù)中的所有的二位數(shù)。那么，三位魔術(shù)數(shù)是不是1000 （103 ）的約數(shù)中的
所有的三位數(shù)？四位魔術(shù)數(shù)是不是104 的約數(shù)中的所有四位數(shù)？進(jìn)而n 位魔術(shù)數(shù)
是不是10n 的約數(shù)中的所有n 位數(shù)？是的。不信你試試看。順便告訴你，三位魔
術(shù)數(shù)和三位以上的魔術(shù)數(shù)都是五個。這又是為什么？請你想想看。