一、基本概念和知識(shí)

    1.整除——約數(shù)和倍數(shù)

    例如：15÷3=5 ，63÷7=9

    一般地，如a 、b 、c 為整數(shù)，b ≠0 ，且a ÷b=c ，即整數(shù)a 除以整除b
（b 不等于0 ），除得的商c 正好是整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說余數(shù)是0 ），我們
就說，a 能被b 整除（或者說b 能整除a ）。記作b ｜a.否則，稱為a 不能被b
整除，（或b 不能整除a ），記作ba.

    如果整數(shù)a 能被整數(shù)b 整除，a 就叫做b 的倍數(shù)，b 就叫做a 的約數(shù)。

    例如：在上面算式中，15是3 的倍數(shù)，3 是15的約數(shù)；63是7 的倍數(shù)，7 是
63的約數(shù)。

    2.數(shù)的整除性質(zhì)

    性質(zhì)1 ：如果a 、b 都能被c 整除，那么它們的和與差也能被c 整除。

    即：如果c ｜a ，c ｜b ，那么c ｜（a ±b ）。

    例如：如果2 ｜10，2 ｜6 ，那么2 ｜（10＋6 ），

    并且2 ｜（10—6 ）。

    性質(zhì)2 ：如果b 與c 的積能整除a ，那么b 與c 都能整除a.即：如果bc｜a ，
那么b ｜a ，c ｜a.

    性質(zhì)3 ：如果b 、c 都能整除a ，且b 和c 互質(zhì)，那么b 與c 的積能整除a.

    即：如果b ｜a ，c ｜a ，且（b ，c ）=1，那么bc｜a.

    例如：如果2 ｜28，7 ｜28，且（2 ，7 ）=1，

    那么（2 ×7 ）｜28.

    性質(zhì)4 ：如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a.

    即：如果c ｜b ，b ｜a ，那么c ｜a.

    例如：如果3 ｜9 ，9 ｜27，那么3 ｜27.

    3.數(shù)的整除特征

    ①能被2 整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字是0 、2 、4 、6 、8 的整數(shù)。“特征”

    包含兩方面的意義：一方面，個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)（包括0 ）的整數(shù)，必能被2
整除；另一方面，能被2 整除的數(shù)，其個(gè)位數(shù)字只能是偶數(shù)（包括0 ）。下面
“特征”

    含義相似。

    ②能被5 整除的數(shù)的特征：個(gè)位是0 或5.

    ③能被3 （或9 ）整除的數(shù)的特征：各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被3 （或9 ）整除。

    ④能被4 （或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4 （或25）整除。

    例如：1864=1800 ＋64，因?yàn)?00 是4 與25的倍數(shù)，所以1800是4 與25的倍
數(shù)。又因?yàn)? ｜64，所以1864能被4 整除。但因?yàn)?564，所以1864不能被25整除。

    ⑤能被8 （或125 ）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8 （或125 ）整除。

    例如：29375 ＝29000 ＋375 ，因?yàn)?000是8 與125 的倍數(shù)，所以29000 是
8 與125 的倍數(shù)。又因?yàn)?25 ｜375 ，所以29375 能被125 整除。但因?yàn)?375，
所以829375.

    ⑥能被11整除的數(shù)的特征：這個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)
字之和的差（大減�。┦�11的倍數(shù)。

    例如：判斷123456789 這九位數(shù)能否被11整除？

    解：這個(gè)數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是9 ＋7 ＋5 ＋3 ＋1=25，偶數(shù)位上的數(shù)字
之和是8 ＋6 ＋4 ＋2 ＝20. 因?yàn)?5—20＝5 ，又因?yàn)?15 ，所以11123456789.

    再例如：判斷13574 是否是11的倍數(shù)？

    解：這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：（4 ＋5 ＋1 ）

    - （7 ＋3 ）＝0.因?yàn)? 是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以11｜0.因此13574 是11的
倍數(shù)。

    ⑦能被7 （11或13）整除的數(shù)的特征：一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的
數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減�。┠鼙�7 （11或13）整除。

    例如：判斷1059282 是否是7 的倍數(shù)？

    解：把1059282 分為1059和282 兩個(gè)數(shù)。因?yàn)?059-282＝777 ，又7 ｜777 ，
所以7 ｜1059282.因此1059282 是7 的倍數(shù)。

    再例如：判斷3546725 能否被13整除？

    解：把3546725 分為3546和725 兩個(gè)數(shù)。因?yàn)?546-725=2821.再把2821分為
2 和821 兩個(gè)數(shù)，因?yàn)?21 —2 ＝819 ，又13｜819 ，所以13｜2821，進(jìn)而13｜
3546725.