“中國剩余定理”算理及其應(yīng)用

    為什么這樣解呢？因為70是5和7的公倍數(shù)，且除以3余1.21是3和7的公倍數(shù)，且除以5余1.15是3和5的公倍數(shù)，且除以7余1.（任何一個一次同余式組，只要根據(jù)這個規(guī)律求出那幾個關(guān)鍵數(shù)字，那么這個一次同余式組就不難解出了。）把70、21、15這三個數(shù)分別乘以它們的余數(shù)，再把三個積加起來是233，符合題意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍數(shù)，去掉105的倍數(shù)，剩下的差就是最小的一個答案。

    用歌訣解題容易記憶，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三個數(shù)去除，用其它的數(shù)去除就不行了。后來我國數(shù)學(xué)家又研究了這個問題，運用了像上面分析的方法那樣進行解答。

    例1：一個數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個數(shù)最小是幾？

    題中3、4、5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。

    則〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60.

    為了使20被3除余1，用20×2=40；

    使15被4除余1，用15×3=45；

    使12被5除余1，用12×3=36.

    然后，40×1＋45×2＋36×4=274，

    因為，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的數(shù)。

    例2：一個數(shù)被3除余2，被7除余4，被8除余5，這個數(shù)最小是幾？

    題中3、7、8三個數(shù)兩兩互質(zhì)。

    則〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168.

    為了使56被3除余1，用56×2=112；

    使24被7除余1，用24×5=120.

    使21被8除余1，用21×5=105；

    然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，

    因為，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的數(shù)。