09高考數(shù)學考試內(nèi)容：三角函數(shù)
2009-02-18 16:10:29
來源：
三角函數(shù)考試內(nèi)容：
角的概念的推廣�；《戎�。
任意角的三角函數(shù)。單位圓中的三角函數(shù)線。同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2α＋cos2α＝1，sina/cosa＝tanα，tanαcotα＝1.正弦、余弦的誘導公式。
兩角和與差的正弦、余弦、正切。二倍角的正弦、余弦、正切。
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)。周期函數(shù)。函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象。正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)。已知三角函數(shù)值求角。
正弦定理。余弦定理。斜三角形解法。
考試要求：
(1)了解任意角的概念、弧度的意義。能正確地進行弧度與角度的換算。
【導讀】近年的高考題中，三角函數(shù)主要考查基礎知識、基本技能、基本方法，復習中注意“三基”的落實。一般都在選擇題與填空題中考查，多為容易或中等難度的題目。三角函數(shù)符號規(guī)律記憶口訣：一全正，二正弦，三是切，四余弦。要熟悉任意角的概念、弧度制與角度制的互化、弧度制下的有關公式、任意角的三角函數(shù)概念。
【試題舉例】
α是第四象限角，tanα＝－5/12，則sinα等于( )
A.1/5 B.－1/5 C.5/13 D.－5/13
【答案】D
【解析】α是第四象限角，tanα＝－5/12，則sinα＝－1/1+√tana*tana＝－5/13.
(2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定義。了解余切、正割、余割的定義。掌握同角三角函數(shù)的基本關系式。掌握正弦、余弦的誘導公式。了解周期函數(shù)與最小正周期的意義。
【導讀】同角三角函數(shù)基本關系式是其他公式推導的理論基礎。對于誘導公式，可用“奇變偶不變，符號看象限”概括。三角公式是三角函數(shù)的心臟，它貫穿于整個的三角運算過程之中。在已知一個角的三角函數(shù)值，求這個角的其他三角函數(shù)值時，要注意題設中角的范圍，并就不同的象限分別求出相應的值。
【試題舉例】
已知簡諧運動f(x)＝2sin(π/3x＋φ)(|φ ＜)的圖象經(jīng)過點(0,1)，則該簡諧運動的最小正周期T和初相φ分別為( )
A.T＝6，φ＝π/6 B.T＝6，φ＝π/3
C.T＝6π，φ＝π/6 D.T＝6π，φ＝π/3
【答案】A
【解析】依題意2sinφ＝1，結合|φ ＜π/2可得φ＝π/6，易得T＝6，故選A.
(3)掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
【導讀】三角函數(shù)的化簡與求值類型的高考題型非常豐富，求值與化簡過程中應當注意同名三角函數(shù)與同角三角函數(shù)的化歸。不僅要能熟練推證公式(建議自己推證一遍所有公式)、熟悉公式的正用逆用，還要熟練掌握公式的變形應用；注意拆角、拼角技巧，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等；注意倍角的相對性，如3α是3a/2的倍角；注意公式的變形使用，弦切互化、三角代換、消元是三角變換的重要方法，要盡量減少開方運算，慎重確定符號。注意“1”的靈活代換，如1＝sin2α＋cos2α＝sec2α－tan2α＝csc2α－cot2α＝tanα•cotα.應用誘導公式，重點是“函數(shù)名稱”與“正負號”的正確判斷，一般常用“奇變偶不變，符號看象限”的口訣。利用同角三角函數(shù)的關系及誘導公式進行化簡、求值、證明時，要細心觀察題目的特征，注意培養(yǎng)觀察、分析問題的能力，并注意做題后的總結，總結一般規(guī)律。如：“切割化弦”“1的巧代”，sinα＋cosα、sinαcosα、sinα－cosα這三個式子間的關系。最后要時時注意角的范圍的討論。
公式應用講究一個“活”字，即正用、逆用、變形用，還要創(chuàng)造條件應用公式，如拆角、拼角技巧等。
【試題舉例】
“θ＝2π/3”是“tanθ＝2cos(π/2+θ)”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】tanθ＝tan2/3π＝－√3，2cos(π/2+θ)＝2sin(－θ)＝－2sin(2/3π)＝－√3可知充分成立，當θ＝0°時tanθ＝0,2cos(π/2+θ)＝0可知不必要。故選A.
(4)能正確運用三角公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明。
【導讀】化簡要求：
(1)能求出值的應求出值。
(2)使三角函數(shù)種數(shù)盡量少。
(3)使項數(shù)盡量少。
(4)盡量使分母不含三角函數(shù)。
(5)盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。
常用方法：
(1)直接應用公式。
(2)切割化弦，異名化同名，異角化同角。
(3)形如cosαcos2αcos22α…cos2nα的函數(shù)式，只需將分子、分母分別乘以2n＋1sinα，應用二倍角正弦公式即可。
注意事項：
(1)公式的熟與準，要依靠理解內(nèi)涵，明確聯(lián)系應用，練習嘗試，不可機械記憶。
(2)要重視對遇到的問題中角、函數(shù)名及其整體結構的分析，提高公式選擇的恰當性，有利于縮短運算程序，提高學習效率。
(3)角的變換體現(xiàn)出將未知轉(zhuǎn)化為已知的思想方法，這是解決三角中關于角的變換問題常用的數(shù)學方法之一。
【試題舉例】
sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于( )
A.0 B.
C.√3/2 D.1
【答案】D
【解析】sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin(15°＋75°)＝1，選D.
(5)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖，理解A、ω、φ的物理意義。
【導讀】三角函數(shù)圖象的平移變換及伸縮變換是歷屆高考的必考知識點，應當注意應用逆向思維的方法去驗證所得的結論。
三角函數(shù)圖象是三角函數(shù)考查的重要內(nèi)容，通過圖象及方程可以用函數(shù)的觀點進一步研究其圖象與性質(zhì)。本節(jié)是圖象和性質(zhì)的綜合應用的內(nèi)容，命題主要突出數(shù)形結合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、分類討論等數(shù)學思想方法，并注意三角知識的載體作用，注意和其他知識間的關聯(lián)；判斷y＝－Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的單調(diào)區(qū)間，只需求y＝Asin(ωx＋φ)的相反區(qū)間即可，一般常用數(shù)形結合。而求y＝Asin(－ωx＋φ)(－ω＜0)單調(diào)區(qū)間時，則需要先將x的系數(shù)變?yōu)檎模僭O法求之。三角函數(shù)是函數(shù)的一個分支，它除了符合函數(shù)的所有關系和共性外，還有它自身的屬性；求三角函數(shù)式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)，且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式，否則很容易出現(xiàn)錯誤。
注意點：1.數(shù)形結合是數(shù)學中重要的思想方法，在中學階段，對各類函數(shù)的研究都離不開圖象，很多函數(shù)的性質(zhì)都是通過觀察圖象而得到的�！�2.作函數(shù)的圖象時，首先要確定函數(shù)的定義域。
3.對于具有周期性的函數(shù)，應先求出周期，作圖象時只要作出一個周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個函數(shù)的圖象。
4.求定義域時，若需先把式子化簡，一定要注意變形時x的取值范圍不能發(fā)生變化。
5.解析式的求解中應用好圖象，緊扣五點中的第一個零點，要注意圖象的升降情況，注意數(shù)形結合的思想。
【試題舉例】
已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋π/3)(ω＞0)的最小正周期為π，則該函數(shù)的圖象( )
A.關于點(π/3，0)對稱 B.關于直線x＝π/4對稱
C.關于點(π/4，0)對稱 D.關于直線x＝π/3對稱
【答案】A
【解析】由函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋π/3)(ω＞0)的最小正周期為π得ω＝2，由2x＋π/3＝kπ得x＝1/2kπ－π/6，對稱點為(1/2kπ－π/6，0)(k∈Z)，當k＝1時為(π/3，0)，選A.
(6)會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx、arccosx、arctanx表示。
【導讀】解決給式(值)求值問題常注意：注意整體思想在解題中的應用；①要注意觀察和分析問題中各角之間的內(nèi)在聯(lián)系，把“待求角”用“已知角”表示出來.②要注意條件中角的范圍對三角函數(shù)值的制約作用，確定所涉及的每一個角的范圍，以免出現(xiàn)增(失)解。
根據(jù)條件計算某個角的三角函數(shù)值或者求某個三角式子的值或者求某個角的大小等，在考試中選擇、填空、解答題均可出現(xiàn)，并且題目大都有一定的技巧性與靈活性。
【試題舉例】
在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝√7，c＝√3，則B＝ .
【答案】5π/6
【解析】由正弦定理得cosB＝1+3-7/2*1*√3＝－√3/2，所以B＝5π/6.
(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形。
【導讀】除了正余弦定理外，還應掌握三角形中一些其他關系式在解題中的應用。如在△ABC中A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，A＞B⇔a＞b⇔cosA＜cosB.
解斜三角形主要是已知三角形中的某些邊或角，去求另外的邊或角。多為選擇題或填空題，屬基礎題.(1)利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形問題：①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊和角).(2)利用余弦定理，可以解決以下兩類有關三角形問題：①已知三邊，求三個角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。
【試題舉例】
在△ABC中，AB＝√3，A＝45°，C＝75°，則BC等于( )
A.3－√3 B.√2 C.2 D.3＋√3
【答案】A
【解析】∵AB＝√3，A＝45°，C＝75°，由正弦定理得：
a/sinA＝c/sinC，⇒BC/sin45°＝AB/sin75°＝√3/(√6+√2)/4
∴BC＝3－√3.
(責任編輯：盧雁明)
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