09年高考數(shù)學(xué)考試內(nèi)容：不等式 (1)
2009-02-18 16:07:37
來源：
不等式考試內(nèi)容：
不等式。不等式的基本性質(zhì)。不等式的證明。不等式的解法。含絕對(duì)值的不等式。
考試要求：
(1)理解不等式的性質(zhì)及其證明。
【導(dǎo)讀】不等式的性質(zhì)是不等式的理論支撐，其基礎(chǔ)性質(zhì)源于數(shù)的大小比較。要注意以下幾點(diǎn)：
1.加強(qiáng)化歸意識(shí)，把比較大小問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算；
2.通過復(fù)習(xí)要強(qiáng)化不等式“運(yùn)算”的條件。如a＞b、c＞d在什么條件下才能推出ac＞bd；
3.強(qiáng)化函數(shù)的性質(zhì)在大小比較中的重要作用，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系；
4.不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ)，對(duì)任意兩實(shí)數(shù)a、b有a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b，這是比較兩數(shù)(式)大小的理論根據(jù)，也是學(xué)習(xí)不等式的基石；
5.一定要在理解的基礎(chǔ)上記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)，并注意解題中靈活、準(zhǔn)確地加以應(yīng)用；
6.對(duì)兩個(gè)(或兩個(gè)以上)不等式同加(或同乘)時(shí)一定要注意不等式是否同向(且大于零)；
7.對(duì)于含參問題的大小比較要注意分類討論。
【試題舉例】
已知a，b為非零實(shí)數(shù)，且a<b，則下列命題成立的是( )
A.a2<b2 B.ab2<a2b C.1/ab*b<1/a*ab D.b/a<a/b
【答案】C
【解析】若a<b<0⇒a2>b2，A不成立；若{ab>0,a<b}⇒a2b<ab2，B不成立；若a＝1，b＝2，則b/a＝2，a/b＝1/2⇒b/a>a/b，所以D不成立，故選C.
(2)掌握兩個(gè)(不擴(kuò)展到三個(gè))正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡單的應(yīng)用。
【導(dǎo)讀】1.在證明不等式的各種方法中，作差比較法是一種最基本、最重要的方法，它是利用不等式兩邊的差是正數(shù)還是負(fù)數(shù)來證明不等式，其應(yīng)用非常廣泛，一定要熟練掌握。
2.對(duì)于公式a＋b≥2√ab，ab≤(a+b/2)2要理解它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個(gè)公式也體現(xiàn)了ab和a＋b的轉(zhuǎn)化關(guān)系。
3.在應(yīng)用均值定理求最值時(shí)，要把握定理成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”.若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。
【試題舉例】
如果正數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝cd＝4，那么( )
A.ab≤c＋d，且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值唯一
B.ab≥c＋d，且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值唯一
C.ab≤c＋d，且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值不唯一
D.ab≥c＋d，且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值不唯一
【答案】A
【解析】∵正數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝cd＝4，∴4＝a＋b≥2√ab，即ab≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)，“＝”成立；又4＝cd≤(c+d/2)2，∴c＋d≥4，當(dāng)且僅當(dāng)c＝d＝2時(shí)，“＝”成立；綜上得ab≤c＋d，且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值都為2，選A.
(3)掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。
【導(dǎo)讀】1.在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分離的，如果使用綜合法證明不等式難以入手時(shí)，常用分析法探索證題途徑，之后用綜合法的形式寫出它的證明過程。有時(shí)問題證明難度較大，常使用分析綜合法，實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題目的。
2.由于高考試題不會(huì)出現(xiàn)單一的不等式的證明題，常常與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起，所以在學(xué)習(xí)中，不等式的證明除常用的三種方法外，還有其他方法，如比較大小。證明不等式的常用方法有：差、商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、分析綜合法和放縮法。要能了解常見的放縮途徑，如：利用增或舍、分式性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性、有界性、基本不等式及絕對(duì)值不等式性質(zhì)和數(shù)學(xué)歸納法等。有時(shí)要先對(duì)不等式作等價(jià)變形再進(jìn)行證明，有時(shí)幾種證明方法綜合使用。
3.比較法有兩種形式：一是作差，二是作商。用作差法證明不等式是證明不等式中最基本、最常用的方法。它的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)。步驟是：作差(商)→變形→判斷。變形的目的是為了判斷。若是作差，就判斷與0的大小關(guān)系，為了便于判斷，往往把形式變?yōu)榉e或完全平方式。若是作商，兩邊為正，就判斷與1的大小關(guān)系�！驹囶}舉例】
當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，則m的取值范圍是 .
【答案】m≤－5
【解析】構(gòu)造函數(shù)：f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2].由于當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，
不等式x2＋mx＋4＜0恒成立。則f(1)≤0，f(2)≤0，即
1＋m＋4≤0,4＋2m＋4≤0.解得：m≤－5.
(4)掌握簡單不等式的解法。
【導(dǎo)讀】1.解不等式的過程，實(shí)質(zhì)上是不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化過程。因此在學(xué)習(xí)中理解保持同解變形是解不等式應(yīng)遵循的基本原則。
2.各類不等式最后一般都要化為一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)來解，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。
3.解不等式幾乎是每年高考的必考題，重點(diǎn)仍是含參數(shù)的有關(guān)不等式，對(duì)字母參數(shù)的邏輯劃分要具體問題具體分析，必須注意分類不重、不漏、完全、準(zhǔn)確。
【試題舉例】
不等式：x-1/x*x-4>0的解集為( )
A.(－2,1) B.(2，＋∞)
C.(－2,1)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【答案】C
【解析】不等式：x-1/x*x-4>0，∴x-1/(x+2)(x-2)>0，原不等式的解集為(－2,1)∪(2，＋∞)，選C.
(5)理解不等式│a│－│b│≤│a＋b│≤│a│＋│b│.
【導(dǎo)讀】1.解含有絕對(duì)值的不等式的指導(dǎo)思想是去掉絕對(duì)值。常用的方法是：(1)由定義分段討論；(2)利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)；(3)平方。
2.絕對(duì)值是歷年高考的重點(diǎn)，而絕對(duì)值不等式更是�？汲Ｐ隆Ｔ诳荚囍幸獜慕^對(duì)值的定義和幾何意義來分析，絕對(duì)值的特點(diǎn)是帶有絕對(duì)值符號(hào)，如何去掉絕對(duì)值符號(hào)，一定要學(xué)會(huì)方法，切不可以題論題。
3.不等式在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中都有廣泛的應(yīng)用，同時(shí)還是繼續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)�？v觀歷年試題，涉及不等式內(nèi)容的考題大致可分為以下幾類：①不等式的證明；②解不等式；③取值范圍的問題；④應(yīng)用題。
【試題舉例】
不等式|2x－1|－x＜1的解集是 .
【答案】(0,2)
【解析】|2x－1|－x＜1⇒|2x－1|＜x＋1⇒－(x＋1)＜2x－1＜x＋1
∴{-(x+1)<2x-1,2x-1<x+1}⇒0＜x＜2.
(責(zé)任編輯：盧雁明)
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