高考數(shù)學(xué)考試內(nèi)容：函數(shù)
函數(shù)
考試內(nèi)容：
映射。函數(shù)。函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。
反函數(shù)。互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系。
指數(shù)概念的擴(kuò)充。有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。指數(shù)函數(shù)。
對(duì)數(shù)。對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。對(duì)數(shù)函數(shù)。
函數(shù)的應(yīng)用。
考試要求：
(1)了解映射的概念，理解函數(shù)的概念。
【導(dǎo)讀】映射A→fB中，A中元素?zé)o剩余、一對(duì)一或多對(duì)一。函數(shù)是“非空數(shù)集上的映射”，其中“值域是映射中象集B的子集”.函數(shù)圖象與x軸垂線至多有一個(gè)交點(diǎn)，但與y軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可任意個(gè)。函數(shù)圖象一定是坐標(biāo)系中的曲線，但坐標(biāo)系中的曲線不一定能成為函數(shù)圖象。函數(shù)是一種特殊的映射，而映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)；函數(shù)的三要素中對(duì)應(yīng)法則是核心，定義域是靈魂。函數(shù)有兩種定義，一是變量觀點(diǎn)下的定義，一是映射觀點(diǎn)下的定義。復(fù)習(xí)中不能僅滿足對(duì)這兩種定義的背誦，而應(yīng)在判斷是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系、兩個(gè)函數(shù)關(guān)系是否相同等問題中得到深化，更應(yīng)在有關(guān)反函數(shù)問題中正確運(yùn)用。
【試題舉例】
給出下列三個(gè)等式：
f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x＋y)＝f(x)+f(y)/1-f(x)f(y).下列函數(shù)中不滿足其中任何一個(gè)等式的是( )
A.f(x)＝3x
B.f(x)＝sinx
C.f(x)＝log2x
D.f(x)＝tanx
【答案】B
【解析】依據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)A滿足f(x＋y)＝f(x)f(y)，
C滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，而D滿足f(x＋y)＝f(x)+f(y)/1-f(x)f(y).，
B不滿足其中任何一個(gè)等式。
(2)了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法。
【導(dǎo)讀】函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論。函數(shù)y＝f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢(shì)，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)。函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制。確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，在解答題中常用定義法、導(dǎo)數(shù)法，在選擇題、填空題中還有數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等。函數(shù)的奇偶性是函數(shù)既有圖象特征又有代數(shù)形式，兩者均是高考考查的重點(diǎn)，兩者相結(jié)合的抽象函數(shù)的性質(zhì)探究更是函數(shù)性質(zhì)研究的深入。函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件。
【試題舉例】
在R上定義的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)＝f(2－x).若f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，則f(x)( )
A.在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是增函數(shù)
B.在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是減函數(shù)
C.在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是增函數(shù)
D.在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是減函數(shù)
【答案】B
【解析】由f(x)＝f(2－x)可知f(x)圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)圖象關(guān)于x＝0對(duì)稱，可得到f(x)為周期函數(shù)且最小正周期為2，結(jié)合f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，可得如上f(x)草圖。故選B.
(3)了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系，會(huì)求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)。
【導(dǎo)讀】反函數(shù)的定義不只局限于函數(shù)y＝ax(x∈R)與函數(shù)y＝logax(x∈(0，＋∞))，對(duì)于其他的函數(shù)也有可能存在反函數(shù)。只有一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)才有反函數(shù)，證明唯一性命題既要證存在性，又要用反證法證其唯一性。遇到互為反函數(shù)問題時(shí)，要時(shí)刻記住兩者定義域與值域互換。確定函數(shù)三要素、求反函數(shù)等課題的綜合性，不僅要用到解方程、解不等式等知識(shí)，還要用到換元思想、方程思想等與函數(shù)有關(guān)概念的結(jié)合。從定義域到值域上的一一映射確定的函數(shù)才有反函數(shù)；反函數(shù)的定義域、值域上分別是原函數(shù)的值域、定義域，若y＝f(x)與y＝f－1(x)互為反函數(shù)，函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳、值域?yàn)锽，則f[f－1(x)]＝x(x∈B)，f－1[f(x)]＝x(x∈A)；單調(diào)性、圖象：互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性，它們的圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱。求反函數(shù)的一般方法：
(1)由y＝f(x)解出x＝f－1(y)，(2)將x＝f－1(y)中的x，y互換位置，得y＝f－1(x)，(3)求y＝f(x)的值域得y＝f－1(x)的定義域。
【試題舉例】(2008•全國卷一)
若函數(shù)y＝f(x－1)的圖象與函數(shù)y＝ln√x＋1的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則f(x)＝( )
A.e2x－1 B.e2x C.e2x＋1 D.e2x＋2
【答案】B
【解析】本小題主要考查原函數(shù)與反函數(shù)圖象間的關(guān)系及反函數(shù)的求法。
由題意知y＝f(x－1)與y＝ln√x＋1互為反函數(shù)，y＝ln√x＋1的反函數(shù)的求解如下：y－1＝ln√x，√x＝ey－1，兩邊平方得x＝e2y－2，交換x，y，則得y＝ln√x＋1的反函數(shù)為f(x－1)＝e2x－2則f(x)＝e2x，故選B.
(4)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。
【導(dǎo)讀】1.本小節(jié)的重點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用。對(duì)于含有字母參數(shù)的兩個(gè)函數(shù)式比較大小或兩個(gè)函數(shù)式由于自變量的不同取值而有不同大小關(guān)系時(shí)，必須對(duì)字母參數(shù)或自變量取值進(jìn)行分類討論。用好用活指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，是解決這一類問題的關(guān)鍵。
2.對(duì)可化為a2x＋b•ax＋c＝0或a2x＋b•ax＋c≥0(≤0)的指數(shù)方程或不等式，常借助換元法解決，但應(yīng)提醒學(xué)生注意換元后“新元”的范圍。
【試題舉例】
設(shè)a＝log1/23，b＝1/32，c＝2*1/3則( )
A.a<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<a<c
【答案】A
【解析】∵由指、對(duì)函數(shù)的性質(zhì)可知：a＝log1/23<log1/2*1＝0,0<b＝1/30.2<1，c＝2*1/3>1，∴有a<b<c. (5)理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。
【導(dǎo)讀】1.本小節(jié)的重點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的運(yùn)用。由于對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，所以它們有許多類似的性質(zhì)，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，與掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)一樣，也要結(jié)合圖象理解和記憶。
2.由于在對(duì)數(shù)式中真數(shù)必須大于0，底數(shù)必須大于零且不等于1，因此有關(guān)對(duì)數(shù)的問題已成了高考的熱點(diǎn)內(nèi)容。學(xué)生在理解有關(guān)的例題時(shí)，要強(qiáng)化這方面的意識(shí)。
【試題舉例】
設(shè)a＞1，函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a,2a]上的最大值與最小值之差為1/2，則a等于( )
A. √2 B.2 C.2√2 D.4
【答案】D
【解析】設(shè)a＞1，函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a,2a]上的最大值與最小值分別為loga2a，logaa＝1，它們的差為1/2，∴l(xiāng)oga2＝1/2，a＝4，選D.
(6)能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實(shí)際問題。
【導(dǎo)讀】指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax，具有性質(zhì)：f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(1)＝a≠0.對(duì)抽象函數(shù)的研究，合理賦值是唯一途徑，不能僅依賴于函數(shù)模型；對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝logax，具有性質(zhì)：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(a)＝1(a>0，a≠1)，應(yīng)注意對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)在解題中的應(yīng)用。
【試題舉例】(2008•全國卷二)
若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，則( )
A.a<b<c B.c<a<b
C.b<a<c D.b<c<a
【答案】C
【解析】∵x∈(e－1,1)，∴a＝lnx∈(－1,0)，b－a＝lnx<0，即b<a，又∵a、c均小于0，＝ln2x<1，得c>a，∴b<a<c，故應(yīng)選C.
(責(zé)任編輯：盧雁明)
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