19．（本小題滿分12分）

（注意：在試題卷上作答無(wú)效）

已知函數(shù) ， ．

（Ⅰ）討論函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)是減函數(shù)，求 的取值范圍．

20．（本小題滿分12分）

（注意：在試題卷上作答無(wú)效）

已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定患病的動(dòng)物．血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為患病動(dòng)物，呈陰性的即沒(méi)患病．下面是兩種化驗(yàn)方法：

方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止．

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)．若結(jié)果呈陽(yáng)性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn)．

（Ⅰ）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；

（Ⅱ） 表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求 的期望．

21．（本小題滿分12分）

（注意：在試題卷上作答無(wú)效）

雙曲線的中心為原點(diǎn) ，焦點(diǎn)在 軸上，兩條漸近線分別為 ，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn) 垂直于 的直線分別交 于 兩點(diǎn)．已知 成等差數(shù)列，且 與 同向．

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）設(shè) 被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為4，求雙曲線的方程．

22．（本小題滿分12分）

（注意：在試題卷上作答無(wú)效）

設(shè)函數(shù) ．?dāng)?shù)列 滿足 ， ．

（Ⅰ）證明：函數(shù) 在區(qū)間 是增函數(shù)；

（Ⅱ）證明： ；

（Ⅲ）設(shè) ，整數(shù) ．證明： ．

參考答案

一、選擇題

1、C              2、A            3、A                   4、D                   5、C                  6、B  

7、D            8、A            9.D                     10.D．                       11.B．                 12.B. 

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．

13.答案：9．               14. 答案：2.                15.答案： .               16.答案： .

三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．

17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得

a=

acosB-bcosA=( )c

          =

          =

          =

依題設(shè)得

解得tanAcotB=4

(II)由（I）得tanA=4tanB，故A、B都是銳角，于是tanB>0

tan(A-B)=

=

≤ ，

且當(dāng)tanB= 時(shí)，上式取等號(hào)，因此tan(A-B)的最大值為

18．解：

(I)作AO⊥BC，垂足為O，連接OD，由題設(shè)知，AO⊥底面BCDE，且O為BC中點(diǎn)，

由 知，Rt△OCD∽Rt△CDE，

從而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD，

由三垂線定理知，AD⊥CE

（II）由題意，BE⊥BC，所以BE⊥側(cè)面ABC，又BE 側(cè)面ABE，所以側(cè)面ABE⊥側(cè)面ABC。

作CF⊥AB，垂足為F，連接FE，則CF⊥平面ABE

故∠CEF為CE與平面ABE所成的角，∠CEF=45°

由CE= ，得CF=

又BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC為等邊三角形

作CG⊥AD，垂足為G，連接GE。

由（I）知，CE⊥AD，又CE∩CG=C，

故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。

CG=

GE=

cos∠CGE=

所以二面角C-AD-E為arccos( )

解法二：

（I）作AO⊥BC，垂足為O，則AO⊥底面BCDE，且O為BC的中點(diǎn)，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OC為x軸正向，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系O-xyz.

設(shè)A（0,0,t），由已知條件有

C(1,0,0), D(1, ,0), E(-1, ,0),

所以 ，得AD⊥CE

（II）作CF⊥AB，垂足為F，連接FE，

設(shè)F（x,0,z）則 =(x-1,0,z),

故CF⊥BE，又AB∩BE=B，所以CF⊥平面ABE，

∠CEF是CE與平面ABE所成的角，∠CEF=45°

由CE= ，得CF=

又CB=2，所以∠FBC=60°，△ABC為等邊三角形，因此A（0，0， ）

作CG⊥AD，垂足為G，連接GE，在Rt△ACD中，求得|AG|= |AD|

故G[ ]

又

所以 的夾角等于二面角C-AD-E的平面角。

由cos( )=

知二面角C-AD-E為arccos( )

（19）解：

（Ⅰ）f´(x)=3x²+2ax+1，判別式Δ=4(a²-3)

（i）若a> 或a< ，則在 上f´(x)>0，f(x)是增函數(shù)；

      在  內(nèi)f´(x)<0，f(x)是減函數(shù)；

      在 上f´(x)>0，f(x)是增函數(shù)。

（ii）若 <a< ，則對(duì)所有x∈R都有f´(x)>0，故此時(shí)f(x)在R上是增函數(shù)。

（iii）若a= ，則f´( )=0，且對(duì)所有的x≠ 都有f´(x)>0，故當(dāng)a= 時(shí)，f(x)在R上是增函數(shù)。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只有當(dāng)a> 或a< 時(shí)，f(x)在 內(nèi)是減函數(shù)。

因此             ≤                       ①

且                 ≥                                      ②

當(dāng)|a|> 時(shí)，由①、②解得a≥2

    因此a的取值范圍是[2,+∞）。

（20）解：

記A₁、A₂分別表示依方案甲需化驗(yàn)1次、2次，

 B₁、B₂分別表示依方案乙需化驗(yàn)2次、3次，

   A表示依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)。依題意知A₂與B₂獨(dú)立。

（Ⅰ）

      ， ， 。

      P( )=P(A₁+A₂·B₂)

          =P(A₁)+P(A₂·B₂)

          =P(A₁)+P(A₂)·P(B₂)

          =

          =

所以 P(A)=1-P( )= =0.72

（Ⅱ）ξ的可能取值為2，3.

      P(B₁)= ，P(B₂)= ，P(ξ=2)=P(B₁)= ，P(ξ=3)=P(B₂)= ，

所以Eξ= （次）。

（21）解：

（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為 (a>0,b>0)，右焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0)，則c²=a²+b²

不妨設(shè)l₁：bx-ay=0，l₂：bx+ay=0

則                 ，

                    。

因?yàn)?/span> ²+ ²= ²，且

    =2 - ，

所以 ²+ ²=(2 - )²，

于是得tan∠AOB= 。

又 與 同向，故∠AOF= ∠AOB，

所以            

解得             tan∠AOF= ，或tan∠AOF=-2（舍去）。

因此             。

所以雙曲線的離心率e= =

（Ⅱ）由a=2b知，雙曲線的方程可化為

        x²-4y²=4b²                                ①

由l₁的斜率為 ，c= b知，直線AB的方程為

        y=-2(x- b)                              ②

將②代入①并化簡(jiǎn)，得

        15x²-32 bx+84b²=0

設(shè)AB與雙曲線的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，則

        x₁+x₂= ，x₁·x₂=                 ③

AB被雙曲線所截得的線段長(zhǎng)

        l=   ④

將③代入④，并化簡(jiǎn)得l= ，而由已知l=4，故b=3，a=6

所以雙曲線的方程為

22、解：

（I）當(dāng)0<x<1時(shí)

f′(x)=1-lnx-1=-lnx>0

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間（0,1）是增函數(shù)，

（II）當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)=x-xlnx>x

又由（I）有f(x)在x=1處連續(xù)知，

當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<f(1)=1

因此，當(dāng)0<x<1時(shí)，0<x<f(x)<1              ①

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 0<a_n<a_n+1<1         ②

(i)由0<a₁<1, a₂=f(a₁)，應(yīng)用式①得0<a₁<a₂<1，即當(dāng)n=1時(shí)，不等式②成立

(ii)假設(shè)n=k時(shí)，不等式②成立，即0<a_k<a_k+1<1

則由①可得0<a_k+1<f(a_k+1)<1，即0<a_k+1<a_k+2<1

故當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式②也成立

綜合(i)(ii)證得：a_n<a_n+1<1

(III)由（II）知，{a_n}逐項(xiàng)遞增，故若存在正整數(shù)m≤k,使得a_m≥b,則a_k+1>a_m≥b

否則，若a_m<b(m≤k)，則由0<a₁≤a_m<b<1(m≤k)知，

a_mlna_m≤a₁lna_m<a₁lnb<0                      ③

a_k+1=a_k-a_klna_k

   =a_k-1-a_k-1lna_k-1-a_klna_k

  ……

   =a₁- a_mlna_m

由③知 a_mlna_m<k (a₁lnb)

于是a_k+1>a₁+k|a₁lnb|

≥a₁+(b-a₁)

=b

　　(責(zé)任編輯：盧雁明)

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