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最值問題解法舉例

來源:育路教育網(wǎng)發(fā)布時間:2011-07-25 08:31:46

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 在一定范圍內(nèi)求最大值或最小值的問題,我們稱之為“最大最小問題”。

    “最大”、“最小”是同學們所熟悉的兩個概念,多年來各級數(shù)學競賽中屢
次出現(xiàn)求最值問題,但一些學生感到束手無策。

    一、枚舉法

    例1 一把鑰匙只能開一把鎖,現(xiàn)在有4 把鑰匙4 把鎖。但不知哪把鑰匙開哪
把鎖,最多要試多少次就能配好全部的鑰匙和鎖?

    (北京市第三屆“迎春杯”數(shù)學競賽試題)

    分析與解開第一把鎖,按最壞情況考慮試了3 把還未成功,則第4 把不用試
了,它一定能打開這把鎖,因此需要3 次。同樣的道理開第二把鎖最多試2 次,
開第三把鎖最多試1 次,最后一把鎖則不用再試了。這樣最多要試的次數(shù)為:3
+2 +1=6 (次)。

    二、綜合法

    例2 x3=84A(x 、A 均為自然數(shù))。A 的最小值是______. (1997年南通市
數(shù)學通訊賽試題)

    分析與解根據(jù)題意,84A 開立方的結果應為自然數(shù),于是我們可以把84分解
質(zhì)因數(shù),得84=2×2 ×3 ×7 ,因此x3=2×2 ×3 ×7 ×A ,其中A 的質(zhì)因數(shù)至
少含有一個2 、兩個3 、兩個7 ,才能滿足上述要求。

    即A 的最小值為(2 ×3 ×3 ×7 ×7=)882.

    三、分析法

    例3 一個三位數(shù)除以43,商是a ,余數(shù)是b ,(a 、b 均為自然數(shù)),a +
b 的最大值是多少?

    (廣州市五年級數(shù)學競賽試題)

    分析與解若要求a +b 的最大值,我們只要保證在符合題意之下,a 、b 盡
可能大。由乘除法關系得

    43a +b=一個三位數(shù)

    因為b 是余數(shù),它必須比除數(shù)小,即b <43b 的最大值可取42.

    根據(jù)上面式子,考慮到a 不能超過23. (因為24×43>1000,并不是一個三
位數(shù))

    當a=23時,43×23+10=999,此時b 最大值為10.

    當a=22時,43×22+42=988,此時b 最大值為42.

    顯然,當a=22,b=42時,a +b 的值最大,最值為22+42=64.

    四、公式法

    例4 兩個自然數(shù)的和為18,那么,這兩個自然數(shù)的積的最大值為多少?(廣
州市小學數(shù)學競賽試題)

    分析與解設兩個正數(shù)分別為a 、b ,它們有以下幾種關系,a +b ≥值,運
用此公式,本題迎刃而解。

    即這兩個自然數(shù)的積的最大值為81.

    五、圖表法

    例5 某公共汽車從起點站開往終點站,中途共有9 個停車站。如果這輛公共
汽車從起點站開出,除終點站外,每一站上車的乘客中從這一站到以后的每一站
正好各有一位乘客上下車。為了使每位乘客都有座位。那么這輛汽車至少應有座
位多少個?

    (北京市“迎春杯”數(shù)學競賽試題)

    分析與解根據(jù)題意,每站下車的乘客數(shù)最少要等于該站后面的車站數(shù),列表
如下:

    從表中可以看出,車上乘客最多時,是在第五站乘客上下車后的人數(shù),此時
人數(shù)為

    (10+9 +8 +7 +6 )- (1 +2 +3 +4 )=30 (人)

    所以這輛汽車至少應有座位30個。

    最大最小問題,涉及面廣,判斷最值的方法較多,上面所列舉的僅是幾種常
見的解題方法。

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