一、基本概念和知識

　　1.整除——約數(shù)和倍數(shù)

　　例如：15÷3=5，63÷7=9

　　一般地，如a、b、c為整數(shù)，b≠0，且a÷b=c，即整數(shù)a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說余數(shù)是0），我們就說，a能被b整除（或者說b能整除a）。記作b｜a.否則，稱為a不能被b整除，（或b不能整除a），記作ba。

　　如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

　　例如：在上面算式中，15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)；63是7的倍數(shù)，7是63的約數(shù)。

　　2.數(shù)的整除性質(zhì)

　　性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。

　　即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

　　例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），

　　并且2｜（10—6）。

　　性質(zhì)2：如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

　　性質(zhì)3：如果b、c都能整除a，且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整除a。

　　即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

　　例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,

　　那么（2×7）｜28。

　　性質(zhì)4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

　　即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

　　例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

　　3.數(shù)的整除特征

　�、倌鼙�2整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù).“特征”包含兩方面的意義：一方面，個位數(shù)字是偶數(shù)（包括0）的整數(shù)，必能被2整除；另一方面，能被2整除的數(shù)，其個位數(shù)字只能是偶數(shù)（包括0）.下面“特征”含義相似。

　�、谀鼙�5整除的數(shù)的特征：個位是0或5。

　�、勰鼙�3（或9）整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位數(shù)字之和能被3（或9）整除。

　�、苣鼙�4（或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4（或25）整除。

　　例如：1864=1800＋64，因為100是4與25的倍數(shù)，所以1800是4與25的倍數(shù).又因為4｜64，所以1864能被4整除.但因為2564，所以1864不能被25整除.

　�、菽鼙�8（或125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8（或125）整除。

　　例如：29375＝29000＋375，因為1000是8與125的倍數(shù)，所以29000是8與125的倍數(shù).又因為125｜375，所以29375能被125整除.但因為8375，所以829375。

　�、弈鼙�11整除的數(shù)的特征：這個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減�。┦�11的倍數(shù)。

　　例如：判斷123456789這九位數(shù)能否被11整除？

　　解：這個數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶數(shù)位上的數(shù)字之和是8＋6＋4＋2＝20.因為25—20＝5，又因為115，所以11123456789。

　　再例如：判斷13574是否是11的倍數(shù)？

　　解：這個數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因為0是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以11｜0.因此13574是11的倍數(shù)。

　�、吣鼙�7（11或13）整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減�。┠鼙�7（11或13）整除。

　　例如：判斷1059282是否是7的倍數(shù)？

　　解：把1059282分為1059和282兩個數(shù).因為1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍數(shù)。

　　再例如：判斷3546725能否被13整除？

　　解：把3546725分為3546和725兩個數(shù).因為3546-725=2821.再把2821分為2和821兩個數(shù)，因為821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，進而13｜3546725.