中科院研究生院碩士研究生入學(xué)考試《高等代數(shù)》考試大綱

　　本《高等代數(shù)》考試大綱適用于中國(guó)科學(xué)院研究生院數(shù)學(xué)和系統(tǒng)科學(xué)等學(xué)科各專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試。高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)生的比較基本課程之一，也是大多數(shù)理工科專業(yè)學(xué)生的必修基礎(chǔ)課。它的主要內(nèi)容包括多項(xiàng)式、行列式和線性方程組、矩陣及其標(biāo)準(zhǔn)形、特征值和特征向量、線性變換和矩陣范數(shù)。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和綜合分析解決問題能力。
　　一、考試的基本要求
　　要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問題和解決問題的能力。
　　二、考試方法和考試時(shí)間
　　高等代數(shù)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。
　　三、考試內(nèi)容
　�。ㄒ唬� 多項(xiàng)式
　　1． 一元多項(xiàng)式的因式、帶余除法公式及互素的概念及判別；
　　2． 復(fù)根存在定理；
　　3． 根與系數(shù)關(guān)系；
　　4． Sturm定理。
　�。ǘ�） 行列式
　　1． 行列式的置換、對(duì)換、置換奇偶性；
　　2． 行列式的定義，基本性質(zhì)及計(jì)算；
　　3． Vandermonde行列式；
　　4． 行列式的代數(shù)余子式、Cramer法則。
　　（三） 矩陣
　　1． 矩陣基本運(yùn)算、分塊矩陣運(yùn)算；
　　2． 初等矩陣、初等變換和矩陣的秩；
　　3． 矩陣的逆、伴隨陣、線性方程組的矩陣形式；
　　4． 行列式乘積定理；
　　5． 矩陣和轉(zhuǎn)置、Hermite共軛；
　　6． 對(duì)角陣、三角陣、三對(duì)角陣；
　　7． 矩陣的跡、方陣多項(xiàng)式；
　　8． 廣義逆矩陣。
　�。ㄋ模� 線性方程組求解
　　1． 線性方程組有解的充分必要條件；
　　2．Gauss消元法；
　　3．三角分解。
　　（五） 線性空間和線性變換；
　　1． 向量的線性相關(guān)和線性無關(guān)；
　　2． 線性空間的定義及性質(zhì)；
　　3． 向量組的秩、線性空間的基及坐標(biāo)；
　　4． 線性變換的矩陣表示；
　　5． 矩陣相似；
　　6． 不變子空間；
　　7． 子空間的直接和、維數(shù)公式；
　　8． 線性空間的同構(gòu)。
　�。�六） 特征值和特征向量
　　1． 特征值和特征多項(xiàng)式；
　　2． 特征向量、特征子空間、度數(shù)和重?cái)?shù)；
　　3． 非虧損矩陣的完全特征向量系和譜分解；
　　4． 特征值估計(jì)的圓盤定理；
　　5． 三對(duì)角矩陣的特征值與Sturm定理。
　�。ㄆ撸� 內(nèi)積空間和等積變換
　　1． Euclid空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，施密特（Schmidt）正交化；
　　2． Gram行列式；
　　3． 正交變換及其矩陣表示；
　　4． 初等旋轉(zhuǎn)和鏡像變換；
　　5． QR分解；
　　6． 酉空間和酉變換；
　　7． 正交相似變換和酉相似變換；
　　8． 向量到子空間的距離、比較小二乘。
　�。ò耍� 二次型和對(duì)稱矩陣
　　1． 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形、慣性定理；
　　2． 實(shí)對(duì)稱矩陣正定的充分必要條件；
　　3． Rayleign商；
　　4． 極大－極小原理、極小－極大原理；
　　5． 正定矩陣的開方和Cholesky分解；
　　6． Hermite型和Hermite矩陣；
　　7． 正規(guī)矩陣。
　　（九） Jordan標(biāo)準(zhǔn)形
　　1． 向量的比較小化零多項(xiàng)式；
　　2． 線性變換及矩陣的比較小多項(xiàng)式；
　　3． 矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及其唯一性；
　　4． 初等因子和不變因子；
　　5． 矩陣函數(shù)。
　�。ㄊ�） 極限和范數(shù)
　　1． 向量和矩陣的極限；
　　2． 向量范數(shù)和范數(shù)等價(jià)定理；
　　3． 相容范數(shù)和從屬范數(shù)；
　　4． 矩陣依范數(shù)的收斂性。
　　四、掌握重點(diǎn)
　�。ㄒ唬� 行列式乘積定理及其應(yīng)用
　　（二） 分塊矩陣運(yùn)算及其應(yīng)用
　�。ㄈ�） 矩陣三角分解及其應(yīng)用
　�。ㄋ模� 矩陣的秩及其應(yīng)用
　　（五） 線性空間的概念及性質(zhì)
　�。�六） 線性變換下的不變子空間及其矩陣表示
　　（七） 圓盤定理與特征值估計(jì)
　�。ò耍� 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形
　�。ň牛� 實(shí)對(duì)稱矩陣及其性質(zhì)
　　（十） 矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算及其應(yīng)用
　�。ㄊ�一） 矩陣范數(shù)與矩陣收斂
　　五、主要參考書目
　　[1] 北京大學(xué)編《高等代數(shù)》，高等教育出版社，1978年3月第1版 ，2003年7月第3版 ，2003年9月第2次印刷.
　　[2] 復(fù)旦大學(xué)蔣爾雄等編《線性代數(shù)》，人民教育出版社，1988.
　　[3] 張禾瑞，郝鈵新，《高等代數(shù)》，高等教育出版社， 1997.