函數(shù)的值域與最值
知識要點
1.函數(shù)的值域
求函數(shù)的值域是一個較復雜的問題，不管用什么方法，都要考慮其定義域。
(1)當函數(shù)用表格給出時，函數(shù)的值域是指表格中函數(shù)值的集合。
(2)當函數(shù)用圖像給出時函數(shù)的值域是指圖像在y軸上的投影所覆蓋的實數(shù)y的集合。
(3)當函數(shù)用解析式給出時，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應法則唯一確定。
(4)當函數(shù)由實際問題給出時，函數(shù)的值域由問題的實際意義決定。
2.函數(shù)的最值：
求函數(shù)的值域與最值是緊密相連的，方法類似。事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最(小)大數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最(小)大值。
3.求函數(shù)的值域常用方法：
直接法；換元法；判別式法；不等式法；函數(shù)的單調性法；函數(shù)的有界性法；數(shù)形結合法；導數(shù)法等等。
典型例題
一、直接法
例1.求下列函數(shù)的值域
(1)y=-
解： x∈{x∈R｜x≠--}
y=-=--+-
∵x≠--
∴2x+1≠0 ∴-≠0∴y≠--
y∈{y∈R｜y≠--}
說明：形如y=-的函數(shù)可通過“分離常數(shù)”后再逐層分析。
(2)y=-
解：x∈R,y=-=-1+-
∵x∈R∴2x>0∴1+2x>1∴0<-<1
∴0<-<2∴-1<-1+-<1
∴y∈(-1,1)
(3)y=4--
解：3+2x-x2 0
∴x∈[-1,3] y=4--
∵x∈[-1,3]∴-(x-1)2+4∈[0,4]
∴--∈[-2,0]
說明：一般的，一個函數(shù)可以由幾個常見函數(shù)經(jīng)過復合后得到。只要每一層的常見函數(shù)都可以求出值域，便可以運用“逐層分析”法求出函數(shù)的值域。
二、換元法
例2.求下列函數(shù)的值域
(1)y=2x+-
解：∵1-2x0 ∴x∈(-∞,-]
設t=-(t0) x=-
∴y=-t2+t+1=-(t--)2+-(t0)
∴y∈(-∞,-]
說明：對于形如y=ax+b+-的函數(shù)設t=cx+d且t0使之劃歸為二次函數(shù)的范圍值域問題。
(2)y=x+-
解：∵1-x20∴x∈{x｜-1x1}
設x=sin,---
∴y=x+-=sin+cos=-sin(+-)
∵---∴--+--
∴--sin(+-)1
∴y∈[-1,-]
說明：對含有-的函數(shù)，可利用三角換元設x=asin，其中的范圍只要能夠使asin滿足x的定義域即可。
(責任編輯：盧雁明)
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