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數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):圓錐曲線 拋物線 專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

2009-02-19 10:53:22 來(lái)源:

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):圓錐曲線  拋物線  專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練 

【例題精選】:

 

       1①已知拋物線的方程為 ,求它的準(zhǔn)線方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)。

                ②求焦點(diǎn)是 的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

       解:①∵   ∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ,準(zhǔn)線方程為 

              ②∵焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上  

                ∴它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 

      

       2拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),以y軸為對(duì)稱(chēng)軸,過(guò)焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長(zhǎng)為16,則拋物線方程為             

       答案: 

       分析:∵過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱(chēng)軸y軸垂直的弦長(zhǎng)等于P2倍。

              ∴所求拋物線方程為 

 

       3拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸是x軸,點(diǎn) 到焦點(diǎn)距離是6,則拋物線方程為             

       答案: 

       分析:∵點(diǎn) 在第二象限

              又∵對(duì)稱(chēng)軸是x          ∴拋物線開(kāi)口向左

              不妨設(shè)其焦點(diǎn)坐標(biāo)為 

             

              求出相應(yīng)的 ,則相應(yīng)的拋物線方程為 

 

       4拋物線 上,橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,則此拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為               

       答案:2

 

       分析:設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F,M是拋物線上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn),則 

              過(guò)MMA垂直于準(zhǔn)線于A,由拋物線定義可知, 

              ,即 

              ∴拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為2

      

       5已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,拋物線上一點(diǎn)M(m,3)到焦點(diǎn)距離為5,求m的值。

       解:設(shè)拋物線方程為 ,則準(zhǔn)線方程為 

              到焦點(diǎn)的距離 等于到準(zhǔn)線的距離 ,而 

      

             

              求得P = 4,故拋物線方程為 

              在拋物線上,故 

                    

 

       6直線 截拋物線 ,所截得的弦中點(diǎn)的坐標(biāo)是            

       答案:( 5, 4 )

       分析:解方程組 

                  ∴弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo) ,代入 ,得中點(diǎn)縱坐標(biāo) ,∴中點(diǎn)坐標(biāo)是( 5, 4 )

 

       7設(shè)拋物線 被直線 截得的弦長(zhǎng)為 ,則b的值是       

       答案: 

       分析:解方程組 

             

             

                      

              解出 

       小結(jié):本題用到了弦長(zhǎng)公式。

       設(shè) 斜率為k,則

      

      

       8頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的拋物線被直線 截得的弦長(zhǎng)為 ,求拋物線的方程。

       解:設(shè)所求拋物線方程為 

               

             

              所以拋物線方程為 

       小結(jié):設(shè)拋物線方程為 ,當(dāng)a>0時(shí)拋物線開(kāi)口向右,a<0時(shí),其開(kāi)口向左。

 

 

       9拋物線 有內(nèi)接直角三角形,直角頂點(diǎn)在原點(diǎn),一條直角邊所在直線方程為 ,斜邊長(zhǎng)為 ,求P的值。

       解:設(shè)拋物線內(nèi)接直角三角形AOB,其直角邊OB所在直線方程為 ,斜邊為AB,則直角邊OA所在直線方程為 

解方程組 

               

              于是有 

              解出,得 

 

       10過(guò)點(diǎn)(1, 6)的直線l與拋物線 相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不重合)求直線l的斜率k的取值范圍。

       解:設(shè)直線l的方程為 

              解方程組 

             

             

 

       11求拋物線 上的點(diǎn)到直線 的最短距離。

       解:設(shè)拋物線上一點(diǎn) 到直線 的距離為d,則

                              

                       

             

 

       12k是什么實(shí)數(shù)時(shí),直線 與拋物線 ,(1)有兩個(gè)交點(diǎn);(2)只有一個(gè)交點(diǎn);(3)無(wú)交點(diǎn)

       解:由方程組 可得

                時(shí)方程有唯一解,當(dāng) 時(shí)

             

①當(dāng) k < 1, 時(shí), 直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)。

②當(dāng) 時(shí), ,直線與拋物線相切,有一個(gè)交點(diǎn)(即切點(diǎn)) ,直線平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸,也只有一個(gè)交點(diǎn)。

③當(dāng) 時(shí), ,直線與拋物線相離,無(wú)交點(diǎn)。

小結(jié):在討論直線與拋物線的位置關(guān)系,判定交點(diǎn)的個(gè)數(shù)時(shí),應(yīng)考慮平行于軸的這一特殊情況,不能單純地使用判別式。

       13求拋物線 中,以 為中點(diǎn)的弦的方程。

       解:設(shè)弦所在直線方程為 

                      代入上式,得

                              

              設(shè)兩根 AB兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)

              則有             

             

              ∴所求直線方程為 

 

       14動(dòng)圓圓心Qx軸上移動(dòng),且過(guò)點(diǎn)A(-3,0),設(shè)動(dòng)圓交x軸于P,交y軸于N,過(guò)Py軸的平行線,過(guò)Nx軸的平行線,它們的交點(diǎn)為M,求M的軌跡。

       解:設(shè)動(dòng)點(diǎn) 

             

             

             

 

       15拋物線 ,過(guò)其焦點(diǎn)作一弦AB,若弦長(zhǎng)不超過(guò)8,且弦所在的直線與橢圓 相交,試確定弦AB所在直線斜率k的取值范圍。

       解:∵焦點(diǎn)    ∴設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F的直線為 

                  ②代入①,得 

              設(shè)直線交拋物線于 

             

             

                      

               

               

                   直線與橢圓相交

               

              ③④  

 

【專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】:(45分鐘)

 

1、拋物線 上一點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為 ,則點(diǎn)M到拋物線頂點(diǎn)的距離是      。

 

2、焦點(diǎn)在直線 上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為             。

 

3、拋物線 上一點(diǎn) 到焦點(diǎn)距離等于6,則m =                 。

 

4、一動(dòng)點(diǎn)到y軸的距離比到點(diǎn)( 2,0 )的距離小2,這動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是            

 

5、拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為                  。

 

6、在拋物線 上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到直線 的距離最短。

 

7、若拋物線的準(zhǔn)線方程為 ,焦點(diǎn)為 ,則拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程是         

         

 

8、P1P2是拋物線的通徑,Q是準(zhǔn)線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn),則              

 

9、點(diǎn)A、B分別在拋物線 和圓 上,求|AB|的最小值。

 

10、求與圓 外切,且與y軸相切的圓的圓心的軌跡方程。

 

11、已知直線lx,y軸上的截距分別為2和-1,并且與拋物線 交于A、B

       兩點(diǎn),求(1)拋物線的焦點(diǎn)F到直線l的距離。(2 的面積。

 

【答 案】:

 

1、10

       提示:拋物線準(zhǔn)線方程為 ,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 從而 到頂    點(diǎn)(0,0)的距離為10。

 

2、 

       提示: 中令 y = 0x = 4x = 0,得y=3,拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)    (0,3),從而得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 

 

3、 

       提示:點(diǎn)M4,m)在拋物線上, ,據(jù)定義 

        

 

4、 

       提示:設(shè)動(dòng)點(diǎn) ,則得 平方得 

       ,當(dāng)x < 0時(shí),y = 0

 

5、焦點(diǎn)坐標(biāo)為 

       提示:拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為 。

 

6 

       提示:設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為 ,它到直線的距離 

       ,當(dāng) 時(shí), ,這時(shí) 

 

7、 

       提示:拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且垂直于準(zhǔn)線的直線,

       ∴它的方程為       

 

8 

       提示:拋物線的通徑是經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦,  

       點(diǎn),  都是等腰直角三角形 

 

9、 

       解:設(shè)PQ分別是拋物線和圓上的點(diǎn),圓心C(3,0),             半徑為1,若 最小,則 也最小,     因此C、P、Q共線,問(wèn)題歸結(jié)為:在拋物線上求一點(diǎn)    P,使它到圓心C的距離最小,為此設(shè)       

       ,      的最小值 為所求。

 

10、解:設(shè)軌跡上任意一點(diǎn)為 

       由題意,得 

       解得所求軌跡方程是 

 

11、解: 

1)直線l的方程為  

                    

       2)解方程組 

  (責(zé)任編輯:盧雁明)

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