【例題精選】：

       例1：①已知拋物線的方程為 ，求它的準線方程及焦點坐標。

                ②求焦點是 的拋物線的標準方程。

       解：①∵   ∴焦點坐標為 ，準線方程為 

              ②∵焦點在x軸的負半軸上  

                ∴它的標準方程為 

       例2：拋物線頂點在坐標原點，以y軸為對稱軸，過焦點且與y軸垂直的弦長為16，則拋物線方程為             

       答案： 

       分析：∵過焦點且與對稱軸y軸垂直的弦長等于P的2倍。

              ∴所求拋物線方程為 

       例3：拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，點 到焦點距離是6，則拋物線方程為             

       答案： 

       分析：∵點 在第二象限

              又∵對稱軸是x軸          ∴拋物線開口向左

              不妨設其焦點坐標為 

              求出相應的 ，則相應的拋物線方程為 。

       例4：拋物線 上，橫坐標為4的點到焦點的距離為5，則此拋物線焦點與準線的距離為               

       答案：2

       分析：設拋物線焦點為F，M是拋物線上橫坐標為4的點，則 

              過M作MA垂直于準線于A，由拋物線定義可知， 

              ，即 

              ∴拋物線的焦點與準線的距離為2

       例5：已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點M(m,－3)到焦點距離為5，求m的值。

       解：設拋物線方程為 ，則準線方程為 

              到焦點的距離 等于到準線的距離 ，而 

              求得P = 4，故拋物線方程為 

              在拋物線上，故 

       例6：直線 截拋物線 ，所截得的弦中點的坐標是            

       答案：( 5, 4 )

       分析：解方程組 

                  ∴弦的中點的橫坐標 ，代入 ，得中點縱坐標 ，∴中點坐標是( 5, 4 )

       例7：設拋物線 被直線 截得的弦長為 ，則b的值是       

       答案： 

       分析：解方程組 

              解出 

       小結：本題用到了弦長公式。

       設 斜率為k，則

       例8：頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線被直線 截得的弦長為 ，求拋物線的方程。

       解：設所求拋物線方程為 

              由 

              所以拋物線方程為 

       小結：設拋物線方程為 ，當a>0時拋物線開口向右，a<0時，其開口向左。

       例9：拋物線 有內接直角三角形，直角頂點在原點，一條直角邊所在直線方程為 ，斜邊長為 ，求P的值。

       解：設拋物線內接直角三角形AOB，其直角邊OB所在直線方程為 ，斜邊為AB，則直角邊OA所在直線方程為 

解方程組 

              得 

              于是有 

              解出，得 

       例10：過點(－1, －6)的直線l與拋物線 相交于A、B兩點（A、B不重合）求直線l的斜率k的取值范圍。

       解：設直線l的方程為 

              解方程組 

       例11：求拋物線 上的點到直線 的最短距離。

       解：設拋物線上一點 到直線 的距離為d，則

                             （ ）

       例12：k是什么實數時，直線 與拋物線 ，（1）有兩個交點；（2）只有一個交點；（3）無交點

       解：由方程組 可得

                時方程有唯一解，當 時

①當 k < 1,且 時， 直線與拋物線有兩個交點。

②當 時， ，直線與拋物線相切，有一個交點（即切點） ，直線平行于拋物線的對稱軸，也只有一個交點。

③當 時， ，直線與拋物線相離，無交點。

小結：在討論直線與拋物線的位置關系，判定交點的個數時，應考慮平行于軸的這一特殊情況，不能單純地使用判別式。

       例13：求拋物線 中，以 為中點的弦的方程。

       解：設弦所在直線方程為 

              由        代入上式，得

              設兩根 為A、B兩點的縱坐標

              則有             

              ∴所求直線方程為 

       例14：動圓圓心Q在x軸上移動，且過點A（－3，0），設動圓交x軸于P，交y軸于N，過P引y軸的平行線，過N引x軸的平行線，它們的交點為M，求M的軌跡。

       解：設動點 

       例15：拋物線 ，過其焦點作一弦AB，若弦長不超過8，且弦所在的直線與橢圓 相交，試確定弦AB所在直線斜率k的取值范圍。

       解：∵焦點    ∴設過焦點F的直線為 

              ∴    ②代入①，得 

              設直線交拋物線于 

               ③

              由 

                   直線與橢圓相交

               ④

              由 ③④ 得 

【專項訓練】：（45分鐘）

1、拋物線 上一點M到準線的距離為 ，則點M到拋物線頂點的距離是      。

2、焦點在直線 上的拋物線的標準方程為             。

3、拋物線 上一點 到焦點距離等于6，則m =                 。

4、一動點到y軸的距離比到點( 2,0 )的距離小2，這動點的軌跡方程是             。

5、拋物線 的焦點坐標為                  。

6、在拋物線 上求一點P，使點P到直線 的距離最短。

7、若拋物線的準線方程為 ，焦點為 ，則拋物線的對稱軸方程是         

          。

8、P₁P₂是拋物線的通徑，Q是準線與對稱軸的交點，則               。

9、點A、B分別在拋物線 和圓 上，求|AB|的最小值。

10、求與圓 外切，且與y軸相切的圓的圓心的軌跡方程。

11、已知直線l在x，y軸上的截距分別為2和－1，并且與拋物線 交于A、B

       兩點，求（1）拋物線的焦點F到直線l的距離。（2） 的面積。

【答 案】：

1、10

       提示：拋物線準線方程為 ，點M的橫坐標為 從而 到頂    點(0,0)的距離為10。

2、 

       提示：在 中令 y = 0得x = 4令x = 0，得y=－3,拋物線焦點坐標為(4,0)    或(0,－3)，從而得拋物線標準方程 

3、 

       提示：點M（4，m）在拋物線上， ，據定義 

4、 

       提示：設動點 ，則得 平方得 

       ，當x < 0時，y = 0。

5、焦點坐標為 

       提示：拋物線的標準方程為 故其焦點坐標為 。

6、 

       提示：設P點坐標為 ，它到直線的距離 

       ，當 時， ，這時 

7、 

       提示：拋物線的對稱軸是經過焦點且垂直于準線的直線，

       ∴它的方程為      即 

8、 

       提示：拋物線的通徑是經過焦點F且垂直于對稱軸的弦， 是 中

       點， 與 都是等腰直角三角形 

       解：設P、Q分別是拋物線和圓上的點，圓心C(3,0),             半徑為1，若 最小，則 也最小，     因此C、P、Q共線，問題歸結為：在拋物線上求一點    P，使它到圓心C的距離最小,為此設 ，       則

       ，      的最小值 為所求。

10、解：設軌跡上任意一點為 

       由題意，得 

       解得所求軌跡方程是 

11、解： 

（1）直線l的方程為  

                     。

       （2）解方程組