【例題精選】：

       例1：①已知拋物線的方程為 ，求它的準(zhǔn)線方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)。

                ②求焦點(diǎn)是 的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

       解：①∵   ∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，準(zhǔn)線方程為 

              ②∵焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上  

                ∴它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 

       例2：拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，以y軸為對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長(zhǎng)為16，則拋物線方程為             

       答案： 

       分析：∵過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱(chēng)軸y軸垂直的弦長(zhǎng)等于P的2倍。

              ∴所求拋物線方程為 

       例3：拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是x軸，點(diǎn) 到焦點(diǎn)距離是6，則拋物線方程為             

       答案： 

       分析：∵點(diǎn) 在第二象限

              又∵對(duì)稱(chēng)軸是x軸          ∴拋物線開(kāi)口向左

              不妨設(shè)其焦點(diǎn)坐標(biāo)為 

              求出相應(yīng)的 ，則相應(yīng)的拋物線方程為 。

       例4：拋物線 上，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則此拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為               

       答案：2

       分析：設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F，M是拋物線上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)，則 

              過(guò)M作MA垂直于準(zhǔn)線于A，由拋物線定義可知， 

              ，即 

              ∴拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為2

       例5：已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)M(m,－3)到焦點(diǎn)距離為5，求m的值。

       解：設(shè)拋物線方程為 ，則準(zhǔn)線方程為 

              到焦點(diǎn)的距離 等于到準(zhǔn)線的距離 ，而 

              求得P = 4，故拋物線方程為 

              在拋物線上，故 

       例6：直線 截拋物線 ，所截得的弦中點(diǎn)的坐標(biāo)是            

       答案：( 5, 4 )

       分析：解方程組 

                  ∴弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo) ，代入 ，得中點(diǎn)縱坐標(biāo) ，∴中點(diǎn)坐標(biāo)是( 5, 4 )

       例7：設(shè)拋物線 被直線 截得的弦長(zhǎng)為 ，則b的值是       

       答案： 

       分析：解方程組 

              解出 

       小結(jié)：本題用到了弦長(zhǎng)公式。

       設(shè) 斜率為k，則

       例8：頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線被直線 截得的弦長(zhǎng)為 ，求拋物線的方程。

       解：設(shè)所求拋物線方程為 

              由 

              所以拋物線方程為 

       小結(jié)：設(shè)拋物線方程為 ，當(dāng)a>0時(shí)拋物線開(kāi)口向右，a<0時(shí)，其開(kāi)口向左。

       例9：拋物線 有內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，一條直角邊所在直線方程為 ，斜邊長(zhǎng)為 ，求P的值。

       解：設(shè)拋物線內(nèi)接直角三角形AOB，其直角邊OB所在直線方程為 ，斜邊為AB，則直角邊OA所在直線方程為 

解方程組 

              得 

              于是有 

              解出，得 

       例10：過(guò)點(diǎn)(－1, －6)的直線l與拋物線 相交于A、B兩點(diǎn)（A、B不重合）求直線l的斜率k的取值范圍。

       解：設(shè)直線l的方程為 

              解方程組 

       例11：求拋物線 上的點(diǎn)到直線 的最短距離。

       解：設(shè)拋物線上一點(diǎn) 到直線 的距離為d，則

                             （ ）

       例12：k是什么實(shí)數(shù)時(shí)，直線 與拋物線 ，（1）有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）只有一個(gè)交點(diǎn)；（3）無(wú)交點(diǎn)

       解：由方程組 可得

                時(shí)方程有唯一解，當(dāng) 時(shí)

①當(dāng) k < 1,且 時(shí)， 直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)。

②當(dāng) 時(shí)， ，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)（即切點(diǎn)） ，直線平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，也只有一個(gè)交點(diǎn)。

③當(dāng) 時(shí)， ，直線與拋物線相離，無(wú)交點(diǎn)。

小結(jié)：在討論直線與拋物線的位置關(guān)系，判定交點(diǎn)的個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)考慮平行于軸的這一特殊情況，不能單純地使用判別式。

       例13：求拋物線 中，以 為中點(diǎn)的弦的方程。

       解：設(shè)弦所在直線方程為 

              由        代入上式，得

              設(shè)兩根 為A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)

              則有             

              ∴所求直線方程為 

       例14：動(dòng)圓圓心Q在x軸上移動(dòng)，且過(guò)點(diǎn)A（－3，0），設(shè)動(dòng)圓交x軸于P，交y軸于N，過(guò)P引y軸的平行線，過(guò)N引x軸的平行線，它們的交點(diǎn)為M，求M的軌跡。

       解：設(shè)動(dòng)點(diǎn) 

       例15：拋物線 ，過(guò)其焦點(diǎn)作一弦AB，若弦長(zhǎng)不超過(guò)8，且弦所在的直線與橢圓 相交，試確定弦AB所在直線斜率k的取值范圍。

       解：∵焦點(diǎn)    ∴設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F的直線為 

              ∴    ②代入①，得 

              設(shè)直線交拋物線于 

               ③

              由 

                   直線與橢圓相交

               ④

              由 ③④ 得 

【專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】：（45分鐘）

1、拋物線 上一點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為 ，則點(diǎn)M到拋物線頂點(diǎn)的距離是      。

2、焦點(diǎn)在直線 上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為             。

3、拋物線 上一點(diǎn) 到焦點(diǎn)距離等于6，則m =                 。

4、一動(dòng)點(diǎn)到y軸的距離比到點(diǎn)( 2,0 )的距離小2，這動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是             。

5、拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為                  。

6、在拋物線 上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線 的距離最短。

7、若拋物線的準(zhǔn)線方程為 ，焦點(diǎn)為 ，則拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程是         

          。

8、P₁P₂是拋物線的通徑，Q是準(zhǔn)線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，則               。

9、點(diǎn)A、B分別在拋物線 和圓 上，求|AB|的最小值。

10、求與圓 外切，且與y軸相切的圓的圓心的軌跡方程。

11、已知直線l在x，y軸上的截距分別為2和－1，并且與拋物線 交于A、B

       兩點(diǎn)，求（1）拋物線的焦點(diǎn)F到直線l的距離。（2） 的面積。

【答 案】：

1、10

       提示：拋物線準(zhǔn)線方程為 ，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 從而 到頂    點(diǎn)(0,0)的距離為10。

2、 

       提示：在 中令 y = 0得x = 4令x = 0，得y=－3,拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)    或(0,－3)，從而得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 

3、 

       提示：點(diǎn)M（4，m）在拋物線上， ，據(jù)定義 

4、 

       提示：設(shè)動(dòng)點(diǎn) ，則得 平方得 

       ，當(dāng)x < 0時(shí)，y = 0。

5、焦點(diǎn)坐標(biāo)為 

       提示：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為 。

6、 

       提示：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為 ，它到直線的距離 

       ，當(dāng) 時(shí)， ，這時(shí) 

7、 

       提示：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且垂直于準(zhǔn)線的直線，

       ∴它的方程為      即 

8、 

       提示：拋物線的通徑是經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦， 是 中

       點(diǎn)， 與 都是等腰直角三角形 

       解：設(shè)P、Q分別是拋物線和圓上的點(diǎn)，圓心C(3,0),             半徑為1，若 最小，則 也最小，     因此C、P、Q共線，問(wèn)題歸結(jié)為：在拋物線上求一點(diǎn)    P，使它到圓心C的距離最小,為此設(shè) ，       則

       ，      的最小值 為所求。

10、解：設(shè)軌跡上任意一點(diǎn)為 

       由題意，得 

       解得所求軌跡方程是 

11、解： 

（1）直線l的方程為  

                     。

       （2）解方程組