數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):圓錐曲線 拋物線 專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練
高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):圓錐曲線 拋物線 專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練
【例題精選】:
例1:①已知拋物線的方程為 ,求它的準(zhǔn)線方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)。
②求焦點(diǎn)是 的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
解:①∵ ∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ,準(zhǔn)線方程為
②∵焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上
∴它的標(biāo)準(zhǔn)方程為
例2:拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),以y軸為對(duì)稱(chēng)軸,過(guò)焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長(zhǎng)為16,則拋物線方程為
答案:
分析:∵過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱(chēng)軸y軸垂直的弦長(zhǎng)等于P的2倍。
∴所求拋物線方程為
例3:拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸是x軸,點(diǎn) 到焦點(diǎn)距離是6,則拋物線方程為
答案:
分析:∵點(diǎn) 在第二象限
又∵對(duì)稱(chēng)軸是x軸 ∴拋物線開(kāi)口向左
不妨設(shè)其焦點(diǎn)坐標(biāo)為
求出相應(yīng)的 ,則相應(yīng)的拋物線方程為 。
例4:拋物線 上,橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,則此拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為
答案:2
|
分析:設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F,M是拋物線上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn),則
過(guò)M作MA垂直于準(zhǔn)線于A,由拋物線定義可知,
,即
∴拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為2
例5:已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,拋物線上一點(diǎn)M(m,-3)到焦點(diǎn)距離為5,求m的值。
解:設(shè)拋物線方程為 ,則準(zhǔn)線方程為
到焦點(diǎn)的距離 等于到準(zhǔn)線的距離 ,而
求得P = 4,故拋物線方程為
在拋物線上,故
例6:直線 截拋物線 ,所截得的弦中點(diǎn)的坐標(biāo)是
答案:( 5, 4 )
分析:解方程組
∴弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo) ,代入 ,得中點(diǎn)縱坐標(biāo) ,∴中點(diǎn)坐標(biāo)是( 5, 4 )
例7:設(shè)拋物線 被直線 截得的弦長(zhǎng)為 ,則b的值是
答案:
分析:解方程組
解出
小結(jié):本題用到了弦長(zhǎng)公式。
設(shè) 斜率為k,則
例8:頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的拋物線被直線 截得的弦長(zhǎng)為 ,求拋物線的方程。
解:設(shè)所求拋物線方程為
由
所以拋物線方程為
小結(jié):設(shè)拋物線方程為 ,當(dāng)a>0時(shí)拋物線開(kāi)口向右,a<0時(shí),其開(kāi)口向左。
|
例9:拋物線 有內(nèi)接直角三角形,直角頂點(diǎn)在原點(diǎn),一條直角邊所在直線方程為 ,斜邊長(zhǎng)為 ,求P的值。
解:設(shè)拋物線內(nèi)接直角三角形AOB,其直角邊OB所在直線方程為 ,斜邊為AB,則直角邊OA所在直線方程為
解方程組
得
于是有
解出,得
例10:過(guò)點(diǎn)(-1, -6)的直線l與拋物線 相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不重合)求直線l的斜率k的取值范圍。
解:設(shè)直線l的方程為
解方程組
例11:求拋物線 上的點(diǎn)到直線 的最短距離。
解:設(shè)拋物線上一點(diǎn) 到直線 的距離為d,則
( )
例12:k是什么實(shí)數(shù)時(shí),直線 與拋物線 ,(1)有兩個(gè)交點(diǎn);(2)只有一個(gè)交點(diǎn);(3)無(wú)交點(diǎn)
解:由方程組 可得
時(shí)方程有唯一解,當(dāng) 時(shí)
①當(dāng) k < 1,且 時(shí), 直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)。
②當(dāng) 時(shí), ,直線與拋物線相切,有一個(gè)交點(diǎn)(即切點(diǎn)) ,直線平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸,也只有一個(gè)交點(diǎn)。
③當(dāng) 時(shí), ,直線與拋物線相離,無(wú)交點(diǎn)。
小結(jié):在討論直線與拋物線的位置關(guān)系,判定交點(diǎn)的個(gè)數(shù)時(shí),應(yīng)考慮平行于軸的這一特殊情況,不能單純地使用判別式。
例13:求拋物線 中,以 為中點(diǎn)的弦的方程。
解:設(shè)弦所在直線方程為
由 代入上式,得
設(shè)兩根 為A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)
則有
∴所求直線方程為
例14:動(dòng)圓圓心Q在x軸上移動(dòng),且過(guò)點(diǎn)A(-3,0),設(shè)動(dòng)圓交x軸于P,交y軸于N,過(guò)P引y軸的平行線,過(guò)N引x軸的平行線,它們的交點(diǎn)為M,求M的軌跡。
解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)
例15:拋物線 ,過(guò)其焦點(diǎn)作一弦AB,若弦長(zhǎng)不超過(guò)8,且弦所在的直線與橢圓 相交,試確定弦AB所在直線斜率k的取值范圍。
解:∵焦點(diǎn) ∴設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F的直線為
∴ ②代入①,得
設(shè)直線交拋物線于
③
由
直線與橢圓相交
④
由 ③④ 得
【專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】:(45分鐘)
1、拋物線 上一點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為 ,則點(diǎn)M到拋物線頂點(diǎn)的距離是 。
2、焦點(diǎn)在直線 上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。
3、拋物線 上一點(diǎn) 到焦點(diǎn)距離等于6,則m = 。
4、一動(dòng)點(diǎn)到y軸的距離比到點(diǎn)( 2,0 )的距離小2,這動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是 。
5、拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 。
6、在拋物線 上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到直線 的距離最短。
7、若拋物線的準(zhǔn)線方程為 ,焦點(diǎn)為 ,則拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程是
。
8、P1P2是拋物線的通徑,Q是準(zhǔn)線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn),則 。
9、點(diǎn)A、B分別在拋物線 和圓 上,求|AB|的最小值。
10、求與圓 外切,且與y軸相切的圓的圓心的軌跡方程。
11、已知直線l在x,y軸上的截距分別為2和-1,并且與拋物線 交于A、B
兩點(diǎn),求(1)拋物線的焦點(diǎn)F到直線l的距離。(2) 的面積。
【答 案】:
1、10
提示:拋物線準(zhǔn)線方程為 ,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 從而 到頂 點(diǎn)(0,0)的距離為10。
2、
提示:在 中令 y = 0得x = 4令x = 0,得y=-3,拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0) 或(0,-3),從而得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程
3、
提示:點(diǎn)M(4,m)在拋物線上, ,據(jù)定義
4、
提示:設(shè)動(dòng)點(diǎn) ,則得 平方得
,當(dāng)x < 0時(shí),y = 0。
5、焦點(diǎn)坐標(biāo)為
提示:拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為 。
6、
提示:設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為 ,它到直線的距離
,當(dāng) 時(shí), ,這時(shí)
7、
提示:拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且垂直于準(zhǔn)線的直線,
∴它的方程為 即
8、
提示:拋物線的通徑是經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦, 是 中
點(diǎn), 與 都是等腰直角三角形
解:設(shè)P、Q分別是拋物線和圓上的點(diǎn),圓心C(3,0), 半徑為1,若 最小,則 也最小, 因此C、P、Q共線,問(wèn)題歸結(jié)為:在拋物線上求一點(diǎn) P,使它到圓心C的距離最小,為此設(shè) , 則
, 的最小值 為所求。
10、解:設(shè)軌跡上任意一點(diǎn)為
由題意,得
解得所求軌跡方程是
11、解:
(1)直線l的方程為
。
(2)解方程組
(責(zé)任編輯:盧雁明)
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