用設(shè)問(wèn)梯度巧解數(shù)學(xué)高考?jí)狠S題
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雙休長(zhǎng)假攻數(shù)學(xué)難關(guān)，用設(shè)問(wèn)梯度巧解數(shù)學(xué)高考?jí)狠S題
高考數(shù)學(xué)的壓軸題都是由多問(wèn)構(gòu)成的，那么各問(wèn)之間有聯(lián)系嗎？這種聯(lián)系可以用來(lái)解題嗎？答案是肯定的，但我們很多考生往往不去考慮各問(wèn)之間的聯(lián)系，放棄題目的設(shè)問(wèn)給我們的重要提示，或?qū)@樣的聯(lián)系挖掘不夠，花大量的精力去考慮單問(wèn)的解法，這樣做的效果當(dāng)然是不理想的，下面我們用2009年上海春季高考題來(lái)談?wù)剢?wèn)與問(wèn)之間的聯(lián)系，讓考生來(lái)體會(huì)一下。
2009年上海春季高考第20題：設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)。
（1）判斷函數(shù)、的單調(diào)性，并就的情形證明你的結(jié)論；
（2）證明：
（3）對(duì)于任意給定的正整數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值。
1、命題意圖與背景
以三角函數(shù)做為高考的數(shù)學(xué)壓軸題很少，是一個(gè)突破。做為壓軸題，共設(shè)置了三小問(wèn)且難度逐步加大也是命題慣例，出題者正是按這個(gè)思路對(duì)題目進(jìn)行設(shè)置的，本題對(duì)有些學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的考區(qū)的學(xué)生來(lái)講應(yīng)不算什么太困難，但上海教材里沒(méi)有導(dǎo)數(shù)，這就突出體現(xiàn)了前面兩小問(wèn)的重要性，當(dāng)然這也可以體現(xiàn)出知識(shí)面對(duì)考生多么重要，這里不談。
2、解法與聯(lián)系
解：（1）在上，正弦函數(shù)單調(diào)遞增，余弦函數(shù)單調(diào)遞減，所以、在上均為單調(diào)遞增的函數(shù)。下面證明的單調(diào)性：
證明：對(duì)于函數(shù)，設(shè)，且，則因?yàn)�，所以，故函�?shù)在上單調(diào)遞增。
評(píng)析：顯然，這一問(wèn)難度小，就是入口寬，方法還多，如可以用的一個(gè)遞增區(qū)間為來(lái)證明等等，極大的增強(qiáng)了學(xué)生的信心，平緩考生考場(chǎng)的緊張情緒。
（2）
右邊所以
評(píng)析：?jiǎn)为?dú)就這兩問(wèn)看，難度不大，也沒(méi)有什么新意，以為就是考察基本知識(shí)點(diǎn)如單調(diào)性定義和三角恒等變形及倍角公式，其實(shí)這兩個(gè)小問(wèn)除了其自身的考察功能外，更主要是對(duì)第三問(wèn)在解題技巧和思想方法上做提醒、鋪墊，這就是高考?jí)狠S題命題常用的方法。
（3）考慮到這里的對(duì)函數(shù)的影響，考生很難一下子對(duì)任意的去求函數(shù)的最值，于是試探試的開(kāi)始考慮：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)增，所以的最大值為，最小值為。
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以得最大值、最小值均為1.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)增，所以的最大值為，最小值為。
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)減，所以的最大值為，最小值為。
評(píng)析：考生不可能一直討論下去，必需考慮一般情形！
下面討論正整數(shù)的情形：
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)任意的，且由，以及得
所以，所以函數(shù)在上單調(diào)增，所以的最大值為，最小值為。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
評(píng)析：這就是求出了最大值，但最小值呢？這時(shí)候我們就應(yīng)該回到第2問(wèn)，去想想為什么第2問(wèn)會(huì)有個(gè)差式的證明，我們考慮特殊推廣到一般就有了下面的思路。
對(duì)于任意的正整數(shù)，有所以
評(píng)析：這個(gè)連續(xù)不等式才是題目所以暗示的核心，加上�？嫉倪f推放縮方法我們就找到了這個(gè)核心，就找到了突破口。
所以函數(shù)的最大值為，最小值為綜上所述，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)的最大值為0，最小值為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)的最大值為1，最小值為
3、小結(jié)
由上例可以看出，考生在解答壓軸題時(shí)要多考慮問(wèn)什么有這樣的設(shè)問(wèn)，這樣的設(shè)問(wèn)對(duì)我們有什么暗示，在回到難點(diǎn)時(shí)可以回頭想想前面的小問(wèn)，分析聯(lián)系去找突破口，當(dāng)然，本題還有其他更簡(jiǎn)單的解法，在這里就不多談，但利用題目的設(shè)問(wèn)去找突破口必需引起考生的重視。
(責(zé)任編輯：韓志霞)
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