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《孫子算經(jīng)》是唐初作為“算學”教科書的著名的《算經(jīng)十書》之一,共三卷,上卷敘述算籌記數(shù)的制度和乘除法則,中卷舉例說明籌算分數(shù)法和開平方法,都是了解中國古代籌算的重要資料。下卷收集了一些算術難題,“雞兔同籠”問題是其中之一。原題如下:
令有雉(雞)兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足。問雄、兔各幾何?
原書的解法是;設頭數(shù)是a,足數(shù)是b。則b/2-a是兔數(shù),a-(b/2-a)是雉數(shù)。這個解法確實是奇妙的。原書在解這個問題時,很可能是采用了方程的方法。
設x為雉數(shù),y為兔數(shù),則有 x+y=b, 2x+4y=a 解之得 y=b/2-a, x=a-(b/2-a)
根據(jù)這組公式很容易得出原題的答案:兔12只,雉22只。
雞兔同籠問題是一個有趣的算術題,對初學算術四則應用題的學生的邏輯推理能力和運算技巧很有幫助。因而歷代算書中多有引錄。但在題目及解題方法上卻各有不同。
元代《丁巨算法》中的題目為:
今有雞兔一百,共足二百七十二只,只云雞足二,兔足四,問二色各幾何?
所附解法與《孫子算經(jīng)》不同。其方法是“置共一百,以四乘之,得四百,與總足相減,余一百二十八,折半得雞數(shù)。反減得兔。倍一百得二百,減總足,余七十二,折半得兔。反減得雞,亦通!边@是另一典型的算術解法,先設全部都是兔。則總足數(shù)是頭數(shù)的四倍,得四百。與實際總足敷相減,即知把雞誤當為兔時多計算的足數(shù)。每只多算二足,故折半即為雞數(shù)。此題的答案為:雞64只,兔36只。
“雞兔同籠”問題在民間也廣為流傳,甚至編入了小說。在我國著名的古典小說《鏡花緣》里就有這樣一段故事:宗伯府的女主人卞寶云邀請女才子們到府中的小鰲山觀燈。當眾才女在一片音樂聲中來到小整山時,只見樓上樓下俱掛燈球,五彩繽紛,宛如列星,高低錯藩,竟難分辨其多少。
卞寶云請精通籌算的才女米蘭芬,算一算樓上樓下大小燈球的數(shù)目。她告訴米蘭芬,樓上的燈有兩種:
一種上做三個大球,下綴六十小球,計大小球九個為一燈;另一種上做三個大球,下綴十八個小球,計大小球二十一個為一燈。樓下的燈也分兩種,一種一個大球,下綴兩個小球;另一種是一個大球,下綴四個小球。她請米蘭芬算一算樓上樓下四種燈各有多少個。
米蘭芬想了一想,請寶云命人查一下樓上樓下大小燈球各多少個。查的結果是:樓上大燈球共396個,小燈球共1440個,樓下大燈球共360個,小燈球共1200個。米蘭芬按照《孫于算經(jīng)》中“雞兔同籠”問題的解法,先算樓下的,她將小燈球1200折半,得600,再減去大燈球360,得240,這是一大四小燈球的燈的盞數(shù)。然后用360減240,得120,這便是一大二小燈球的燈的盞數(shù)。再算樓上的,她先將1440折半,得720,減大燈球396,余324,再除以6,得54,這是綴十八個小球燈的燈的盞數(shù),然后用3乘54,得162,用396減162,得234,用234除以3得78,即下綴六個小球燈的燈78盞。卞寶云讓人拿做燈的單子來念,果然絲毫不差。大家莫不稱為神算。這個問題若用方程解之自然更簡單,但用算術方法解之確也別具一格。
一個算術題竟能輾轉傳抄,世代相授,歷經(jīng)千年而不衰,其內(nèi)容之有趣,解法之奇巧,不能不說是一個很重要的原因。
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