微積分還有一個(gè)名稱，叫“無(wú)窮小分析”。

　　兩個(gè)無(wú)窮小的商求極限，既是典型的未定式計(jì)算，又有深刻的理論意義。即“無(wú)窮小的比較”。

　　如果商的極限為1，則分子分母為等價(jià)無(wú)窮小。極限為0 ，分子是較分母高階的無(wú)窮小。極限為其它實(shí)數(shù)，分子分母為同階無(wú)窮小。

　　為了考試，要盡可能記住一些常用的等價(jià)無(wú)窮小。

　　利用 Δy ~ d y (數(shù)學(xué)一，二用泰勒公式)生成等價(jià)無(wú)窮小 ——

　　當(dāng) f ′(x0)≠ 0 時(shí) ，Δy ~ d y ，在原點(diǎn)計(jì)算Δy和d y ，得到常用的4個(gè)等價(jià)無(wú)窮小

　　sin x ~ x ; ln(1+x)~ x ;e xp(x)-1 ~ x ;√(1+ x)-1 ~ x ∕ 2

　　比較好再記住 1-cos x ~ x 2 ∕ 2 (e xp(x)記以e為底的指數(shù)函數(shù))

　　等價(jià)無(wú)窮小的復(fù)合拓展 ——

　　x→0 時(shí)，α (x)是無(wú)窮小，則 sin α (x) ~α (x) ; ln(1+α (x))~ α (x) ，……

　　標(biāo)準(zhǔn)階無(wú)窮小與無(wú)窮小的階 ——

　　高等微積分中，把 x→0(或0+)時(shí)，冪函數(shù) y = (x的μ次方) 稱為μ 階無(wú)窮小。與它同階的無(wú)窮小，都是μ階無(wú)窮小。于是，常用的1階無(wú)窮小有，

　　x ， sin x ， tg x ， arcsin x ， arctg x ， e xp(x)-1

　　常用的2 階無(wú)窮小有 1- cos x

　　等價(jià)無(wú)窮小的差為高階無(wú)窮小 ——

　　值得記一記的有(常見(jiàn)的三階無(wú)窮小) x ? sin x ~ x 3 / 6

　　x ? lnx(1+ x)~ x2 / 2 ， exp(x)-(1 + x) ~ x2/2! ，……

　　不同階的有限個(gè)無(wú)窮小的線性組合是無(wú)窮小。(“多項(xiàng)式型無(wú)窮小”。)它與其中比較低階的那個(gè)無(wú)窮小同階。

　　比如 y = ln(1+x)+ 1-cos x 是1 階無(wú)窮小

　　再?gòu)?fù)雜一點(diǎn)， 5x ? sin x - cos x + 1 = 4x + (1- cos x )+ (x ? sin x )，是1階無(wú)窮小

　　由于“等價(jià)無(wú)窮小的差”也可以說(shuō)成是“無(wú)窮小的和”，或“無(wú)窮小的線性組合”，所以，“無(wú)窮小的和”，或“無(wú)窮小的線性組合”，其階數(shù)都是未定式。

　　無(wú)窮小的積是高階無(wú)窮小。

　　無(wú)窮小(在區(qū)間背景下)也是有界變量。所以，“無(wú)窮小與有界變量的積”是無(wú)窮小，但階數(shù)是未定式。

　　比如， x→0 時(shí)， x2 + 3x 與 x 同為1階。實(shí)際上，x 2 + 3x = x(x+3)，后因子極限非0

　　但 x sin(1/x)的階數(shù)不能確定。

　　在階的意識(shí)下對(duì)0 / 0型未定式作結(jié)構(gòu)分析與調(diào)整 ——

　　例1 x→∞， 求 lim x sin(2x/(x2+1))

　　分析 x→∞ 時(shí)，2x/(x2+1)是無(wú)窮小，sin(2x /(x2+1))~(2x /(x2+1)，可替換。

　　例2 x→0 時(shí)， 求 lim (5x ? sin x - cos x + 1) / (3x - l nx)

　　分析 原極限 = lim (4x + 1- cos x + x ? sin x) / (2x +x -lnx)

　　分子分母都是“多項(xiàng)式型無(wú)窮小”。用“化0項(xiàng)法”， 分子分母同除以(商式中的)比較低階的無(wú)窮小。 原極限 = 2

　　例3 x→0 時(shí)， 求 lim(1/ x2)ln(sin x / x)

　　分析( 數(shù)三學(xué)過(guò)冪級(jí)數(shù)) sin x = x - x3 / 6 + ……

　　ln(sin x / x)= ln(1— x 2 / 6 + ……)~ —x 2 / 6 ，可替換。

　　無(wú)窮小怪例 ——不能確定階數(shù)的無(wú)窮小

　　怪例1 α = x sin(1/x)和β = x 都是無(wú)窮小，但是它們的商是震蕩因子sin(1/x)，沒(méi)有極限。兩個(gè)無(wú)窮小不能比較。

　　更有意思的是，若 γ = x的k次方 ，則無(wú)論 k = 0.9,還是k = 0.99, k = 0.999,……，α總是比γ高階的無(wú)窮小。

　　怪例2 x → +∞ 時(shí) ， l i m (x的n次方)∕exp(x)= 0 即 l i m (x的n次方)exp(-x)= 0

　　這表明：“x趨于 +∞ 時(shí)，指數(shù)函數(shù)exp(x)是比任意高次方的冪函數(shù)都還要高階的無(wú)窮大。”

　　或說(shuō)， x趨于 +∞ 時(shí)， exp(-x)是“任意大階的”無(wú)窮小。它能“吞吸”任一有限階的無(wú)窮大。

　　怪例3 x → +∞ 時(shí) ， lim l n x ∕ (x的δ次方)= 0

　　其中，δ是任意取定的一個(gè)很小的正數(shù)。這表明： x 趨于 +∞ 時(shí)，“對(duì)數(shù)函數(shù)lnx總是比 x的δ次方 都還要低階的無(wú)窮大。”或說(shuō)，1 / l n x是“階數(shù)任意小” 無(wú)窮小。

　　無(wú)窮小的階與級(jí)數(shù)，廣義積分收斂性 ——

　　判斷級(jí)數(shù)，廣義積分收斂性，首先判斷絕對(duì)收斂性。

　　如果用“無(wú)窮小量”的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，則，“級(jí)數(shù)收斂的必要條件是，n → +∞時(shí) ，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是無(wú)窮小量。”

　　這個(gè)條件不是充分條件。如果我們已經(jīng)判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)的無(wú)窮小階數(shù)為p ， 則p > 1時(shí)級(jí)數(shù)收斂，p≤1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。

　　“已經(jīng)判定”是重要前提。請(qǐng)看(并記住)怪例

　　盡管1 / n ln n 是較 1/n 高階的無(wú)窮小，但是，通項(xiàng)為 1 / n ln n 的級(jí)數(shù)也發(fā)散.然而，通項(xiàng)為 1 / n (ln n)2 的級(jí)數(shù)收斂.你卻不能確定其無(wú)窮小階.

　　*若n → +∞時(shí) ，兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和的通項(xiàng)是同階無(wú)窮小，則這兩個(gè)級(jí)數(shù)或者都收斂，或者都發(fā)散。(這是極限形式的比較法的實(shí)質(zhì)。)

　　例 ∑ Un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是______

　　(A)若n → +∞時(shí) ，lim n Un=0 ，則∑ Un收斂。

　　(B)若∑ Un收斂，則n → +∞時(shí) ，lim n2 Un = 0

　　(C)若存在非零常數(shù)λ，使得n → +∞時(shí) ，lim n Un = λ，則級(jí)數(shù) ∑ Un發(fā)散。

　　(D)若級(jí)數(shù)∑ Un發(fā)散，則存在非零常數(shù)λ，使得lim n Un = λ

　　分析 (A)錯(cuò)，條件雖然說(shuō)明n → +∞時(shí) ，Un是比1/n高階的無(wú)窮小，但我們不能確定其階數(shù)。

　　答案為(C)，它說(shuō)明n → +∞時(shí) ，Un是與1/n 同階的無(wú)窮小。

　　對(duì)于廣義積分.有判斷定理 ——

　　若x→ +∞時(shí) ，f(x)是(能夠確定的)大于1階的無(wú)窮小，則f(x)的無(wú)窮積分收斂。(能夠確定的)

　　若x→ b時(shí)，f(x)是(能夠確定的)低于1階的無(wú)窮大，且f(x)在[a，b]上只有這一個(gè)“暇點(diǎn)”，則f(x)在[a，b]上的暇積分收斂。

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