因為很喜歡學(xué)數(shù)學(xué)，所以大一大二學(xué)數(shù)學(xué)還是比較用功的，不過學(xué)的程度當(dāng)然不高了，很久沒有接觸數(shù)學(xué)，難免生疏不少，盡管有興趣但是剛復(fù)習(xí)難度真不小，尤其是下冊，其實有一份對數(shù)學(xué)興趣還是很不錯了，至少你很樂意去學(xué)習(xí)。

　　從暑假之前書本基本大致看完了，不算太早，當(dāng)然，比較初就是看課本了，那時候什么也不懂，就是看書，看定義，做課后練習(xí)題，我同學(xué)和我都是按同樣的步驟，我復(fù)習(xí)時有個特點，就是不太樂意對答案，一方面是沒有答案在手，不愿意買，也懶得對，另一方面是莫名奇妙的自信，總覺得自己寫的都是對的，當(dāng)然不會的題目還是想辦法參考一下的。不過我建議大家比較好找到答案，看過程，看精確度，等到復(fù)習(xí)比較后才發(fā)現(xiàn)，其實不會的真不多，而錯誤的原因很大程度上在于準確度不高，粗心等毛病，所以準確度和細心是整個復(fù)習(xí)過程中貫徹始終的，無論是剛開始還是復(fù)習(xí)的比較后，這點我深有感悟，你會再多，算錯了，抄錯了，比較后和你不會結(jié)果是一樣的，所以，千萬要有耐心，你差的不是時間，而是克服你的惰性，不要眼高手低，養(yǎng)成勤于動手的習(xí)慣，久而久之，你會發(fā)現(xiàn)它的用處的。

　　其實第一次看書，可能覺得很難，也算是比較新的東西了，不過不用害怕，這是第一次你要克服的東西，需要掌握的東西一定想法弄懂(順便說下，其實我用大綱解析的唯一目的是確定考試范圍，至于什么要掌握，什么要理解我沒有在意，畢竟剛開始都是一視同仁的，剛開始不用區(qū)分的太開，第一次是要盡量去理解的，而至于什么掌握啊，到后來你買些復(fù)習(xí)資料，做些題目，哪塊特別重要，你會明白的)，盡量不要把它撇開，不過之前你也可以大概過一下定義，知道你要面對的是什么，然后再開始第一輪復(fù)習(xí)。

　　看定義，看定理，看什么?要看定義使用的前提，使用的條件，這樣你看完后以后碰到題很容易明白它要考察的是哪塊內(nèi)容，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)比較高境界就是看到題目，你知道出題人考察的是哪塊內(nèi)容，他設(shè)置了怎樣的陷阱，你怎樣去避開它，看出出題人的心思，這與清楚明白定義是分不開的，所謂打基礎(chǔ)就是這個意思。

　　就比如定積分的定義這個例子，你可能覺得定義復(fù)雜苦澀，但是如果你明白它就是一個一個小長方形面積的極限和，既然是極限那么它肯定跟求極限也能拉上關(guān)系，不就是明顯一種思路嗎?例子呢就是給你解題的步驟和思路，怎樣解，怎樣寫參考的是例子，而且有時候一個簡單的例子給你提供解題思路，讓你開眼界，之后就是課后題目了，你定義理解的如何，怎樣應(yīng)用，就在于這些題目，如果你沒有舉一反三還有記性特別好的話，盡量多練習(xí)，加深理解，一定不要懶惰哦。

　　很多人對于書本上的定理證明過程有疑問，到底有沒有必要掌握，哪一年的數(shù)二真題不就是拿拉格朗日中值定理作文章，直接證明定理。我同學(xué)有問：泰勒公式可以證明嗎?柯西中值定理呢?當(dāng)然不行了，你可以用它們?nèi)ダ斫�，但是考察的不還是書上證明嗎?從另外想，知道它的思路既可以加深理解也可以用于其他方面，比如線性代數(shù)中R(AB)M,這里x任意，存在即可，不強調(diào)存在方式。

　　無窮大是對任一M(無論多大)，總存在x0,當(dāng)x>x0時，f(x)>M(注，這里的無窮大時x趨近正無窮時，其他同理)，這里的存在有限制。

　　從定義，再結(jié)合圖像，無窮算是無界的一種。但是無界不一定無窮

　　無界是一個區(qū)間而無窮是針對一個趨勢，舉個例子1/x,在(0,+∞)是無界而同是這個函數(shù)x趨近0是無窮而趨近無窮則是0

　　第二個例子xsinx,x趨近無窮滿足無界的定義，是無界，但不是無窮，因為無論怎樣取x0,x>x0總有函數(shù)等于0，也就是不存在這樣的函數(shù)。也就是說對于一個無界的區(qū)間你如果有意識的話可以挑選一些數(shù)，有一定順序組成一個新的函數(shù)的話完全可以成為無窮了。正如例子中你選π/2,5π/2,9π/2……是不是無窮?

　　這也涉及到一元函數(shù)的極限概念，考慮一下二元函數(shù)極限是x,y無論哪條路徑都可以趨近某個值，其實一元函數(shù)也有個路徑，不過這個路徑指的是在x軸無論0，2，4，6……還是1，3，5……等等都是趨近同一值，這是想通之處了。而對于某一類的無界它也不過是挑取某個路徑達到無窮。不能滿足所有路徑都是。

　　2.無窮小和零

　　無窮小是趨勢，一定條件下的趨勢，同是一個函數(shù)在不同條件下地位不同比如x趨近0時時無窮小x趨近1就是，0是無論那種情況都是趨近0，所以0是無窮小。但是無窮小和0不是等價的，這點把握到這里就可以了。

　　3.常見的幾種點

　　駐點：導(dǎo)數(shù)為0的點，不僅有定義，而且導(dǎo)數(shù)必須存在且為0

　　極值點：相對點，相對于附近某一小臨域，它是比較大〔小〕的值，這里強調(diào)這個臨域存在，臨域不是區(qū)間;這樣的點有一些性質(zhì)，若可導(dǎo)則導(dǎo)數(shù)必為0，但導(dǎo)數(shù)為0不全是極值點(x^3)

　　但是這不是判斷極值點的唯一條件，還要根據(jù)定義，這就屬于不可導(dǎo)的點了(|x|的0點)，所以極值點穿插很多，多重考慮，別忘了必須有定義。

　　拐點：性質(zhì)有點類似極值點只是要求不同，它是某一臨域左右凸凹性改變，同理既要考慮二階導(dǎo)數(shù)是0還有二階導(dǎo)不存在的穿插，還要注意比較基本，有定義

　　4.可積，原函數(shù)，變限積分

　　可積指定積分存在〔注意是定積分不包括廣義積分〕，按幾何意義，曲線與x軸面積〔這里也可以說是負面積〕存在。

　　原函數(shù)是函數(shù)，不是一個值，判定是否存在原函數(shù)，對它求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)是該函數(shù)。

　　變限積分定積分下限為常數(shù)，上限是自變量，集合兩者，把x確定為一個值它就是定積分，某種意義上它可以算是某個原函數(shù)，但是這是一般情況，總體來說它還是一個函數(shù)。

　　可積不一定有原函數(shù)〔一個值存在怎么斷定一個趨近有函數(shù)呢，〕，有第一類間斷點是沒有原函數(shù)但是可以有定積分，可積。有原函數(shù)不一定可積〔1/x〕，它們之間關(guān)系頗為復(fù)雜，求一個定積分我們有能力的就是利用奇偶性或者間接利用原函數(shù)〔牛頓，來布尼次公式〕，一馬歸一馬，注意區(qū)別。

　　而可積和變限積分聯(lián)系挺大的，一般區(qū)間可積的話變限積分不僅存在而且連續(xù)，不深入討論。

　　原函數(shù)和變限積分是比較易混淆的，兩者都是函數(shù)，求的過程容易覺得變限積分算是原函數(shù)的其中一個，一般函數(shù)可以這么以為，不過深入討論，決不這么簡單，對于存在原函數(shù)的上述結(jié)論正確，可是比較大的區(qū)別就是有第一類間斷點沒有原函數(shù)，但是變限積分存在且連續(xù)，圖形上理解就是有間斷點，不影響面積存在性而且不影響連續(xù)性，這點可以證明。

　　5.一元與二元函數(shù)的可微，可導(dǎo)和連續(xù)

　　一元函數(shù)和二元函數(shù)在連續(xù)，可微，可導(dǎo)雖然從書上看性質(zhì)不太一樣但這決不違背定理，兩個之間有莫大的關(guān)系。

　　一元函數(shù)和二元函數(shù)的連續(xù)都要求極限存在且等于函數(shù)值，不同就是因為不同元函數(shù)因為空間的分布不同決定了極限的趨近方式不同，因為一元只有x是一條軸，一根線，那么教材上強調(diào)的更多是左右趨近，其實另一角度看，正如概念區(qū)別1來說其實方式也有很多，因為別看只是一條軸它卻有無窮多個點，極限是要求連續(xù)取的，可是為了區(qū)別，我們有時候會跳躍取。正如數(shù)列極限中2n,2n+1,只有同時取盡才保證極限存在，而二元函數(shù)分布于一個平面這就決定了方向的無窮性了，隨意一個一元函數(shù)都可以決定一個方向y=x,y=x^2等等，作為一條曲線可以作為一條方向只要它過所確定的點即可，一元函數(shù)其實就是沿著(x,0)對二元函數(shù)的極限，這也就說明二元函數(shù)連續(xù)，那么在該點確定的一元函數(shù)也連續(xù)。舉個例子f(x,y)在0,0連續(xù)，那么f(x,0)肯定在x=0連續(xù)，一般到特殊，但是反之卻不可以，這也從一定程度說明證明二元函數(shù)不連續(xù)，可以選取不同y,x關(guān)系，極限不同則不連續(xù)。

　　可導(dǎo)，一元函數(shù)中有可導(dǎo)必連續(xù)，這是因為導(dǎo)數(shù)的定義決定了極限只能是0/0型的極限，自變量趨近，函數(shù)必然趨近，可導(dǎo)必連續(xù)，可是二元函數(shù)卻沒有可導(dǎo)必連續(xù)，為什么呢?那是因為二元函數(shù)中的可導(dǎo)指的是偏導(dǎo)，偏導(dǎo)就說明是作為一元函數(shù)求導(dǎo)的，盡管它是二元的，既然作為一元函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)一元函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)概念，我們自然會有連續(xù)的概念，不過這里的連續(xù)不是說二元函數(shù)連續(xù)，而是它作為一元函數(shù)連續(xù)，什么意思呢?還是上面說的f(x,y)在0,0處對x偏導(dǎo)存在，說明f(x,0)在x為0處連續(xù)而不是f(x,y)在x,y=0,0連續(xù)，因為連續(xù)作用的單位不是整個二元函數(shù)，而二元函數(shù)中的某個小分支是一元函數(shù)，連續(xù)只作用到一個分支上了。

　　再說可微，因為一元和二元函數(shù)的可微定義是不一樣的，一元函數(shù)定義可微和導(dǎo)數(shù)關(guān)系拉的很近，Δx將它們穿在一塊，有著可微等價于可導(dǎo)的結(jié)論，這也是極限定義。而二元函數(shù)定義可微時則是將Δx,Δy同時定義在內(nèi)，無窮小也與兩者都相關(guān)，所以單從二元函數(shù)可導(dǎo)〔偏導(dǎo)〕不能得到可微，因為偏導(dǎo)只是和某個有關(guān)，既然涉及兩個那么兩個關(guān)系沒那么大了，可微是更深層次考察函數(shù)，單從定義式我們就可以得到兩個結(jié)論，1連續(xù)(x趨近x0,y趨近y0試試)，2可導(dǎo)〔另某個Δ為0再對照定義〕

　　從分析看，其實一元和二元差別之處就在于定義不同，研究范圍不同，你如果把二元特殊為一元研究一元函數(shù)的性質(zhì)它都有了。

　　6.定積分與面積

　　可能大家對它倆關(guān)系有了明確的界定，但是我還是想說下，對不太明白的人或許有點用。

　　從定義看定積分是Δx與f(xi)的乘積和，可能由于定積分是從面積引出來的大家或許有錯覺，它就是面積，但從定義來Δx我們規(guī)定若為正那么f(x)不一定全部為正，這樣也不是面積了，假如我們將面積也矢量話(注意，面積只能是正)，那么這里的定積分就是矢量面積和了，這只幫助理解。在研究定積分中會出現(xiàn)積分上下限顛倒，上面小于下邊，這就更說明定積分不是面積了，只有積分上限大于下限，f(x)>0,才是真正意義的面積，所以給你一個題目求面積可不是單純求定積分，需要你自己分段加符號。二重積分也天然不是體積，同理

　　7.定積分和二重積分

　　看上去區(qū)別很大的，從幾何意義上講，定積分是矢量面積(方便敘述用的)，二重積分是矢量體積(同理)。區(qū)別大家很容易看到，著重說聯(lián)系。二重積分的累次積分中我們就看到了它與定積分的某種聯(lián)系，兩次積分，補充下，如果你掌握了定積分求法，那么二重積分你還要掌握的是積分區(qū)域的劃分，保持清醒的是積分區(qū)域中x,y的關(guān)系不要應(yīng)用到f(x,y)中，兩者關(guān)系不大〔雖然我不學(xué)曲面積分，但我隱約明白去年積分區(qū)域和函數(shù)關(guān)系很大，注意區(qū)別〕在極坐標換元中易出錯。

　　求法決定二重積分與定積分關(guān)系，二重積分寫法有好多種，但你要明白求法是固定的∫∫f(x,y)dxdy=∫(∫f(x,y)dx)dy或∫(∫f(x,y)dy)dx,明白了嗎?就是說二重積分是定積分特殊的一種，積分函數(shù)是個特別的函數(shù)，這樣定積分常用的方法二重積分也可以用，尤其是分布積分法，不過用時注意一定要明白積分變量是哪個別混了，這效果和換積分次序差不多一樣，不過你換必須不得主觀變換上下限，這里避免主觀，可以少出錯。這個有什么用呢，當(dāng)然是面對你積分積不出來時如e^(x^2)

　　8.二階非齊次微分方程的兩個類型(e^(rx)和sinwx+coswx)

　　注意，不多說，想說的是在求特解的時候不要弄混了，為了避免混淆，這樣理解：不論那種形式都看作f(x)e^(rx)(acoswx+bsinwx)

　　r取0看是什么，x取0看又是什么，兩個同時取零呢?

　　這樣在找特征方程解對照時注意如果實根，把虛部看做0這樣把實部和虛部同時對比兩者同時符合則同，不符合則一般

　　9.二元函數(shù)中的兩類求極值

　　第一類，不帶條件求極值，判定方法：偏導(dǎo)都為0，再根據(jù)二階偏導(dǎo)，A,B,C……判斷

　　第二類，附帶條件，注意此類求極值其實質(zhì)仍為一元函數(shù)求導(dǎo)，不過有隱函數(shù)的性質(zhì)，注意推導(dǎo)過程與第一類有很大的區(qū)別，比如偏導(dǎo)可以都不為0，做題不要混淆了。

　　10.等價，合同，相似

　　矩陣A,B等價指A經(jīng)過初等變換變換可變?yōu)锽,性質(zhì)就是秩相同，當(dāng)然沒有要求矩陣必須是n階的，可以m*n，還有就是向量組等價定義是甲向量組每個向量都可以用乙向量組向量線性表示，乙的也可以用甲的表示稱為甲乙向量組等價。兩個等價有區(qū)別有聯(lián)系。首先，研究對象不同，前者是矩陣后者是向量組。然后性質(zhì)不同，矩陣等價必須同型，都是m*n，向量組等價不一定向量個數(shù)相同，但維數(shù)相同。當(dāng)然，也有聯(lián)系，如果兩個向量組等價而且向量個數(shù)相同，由這些向量組成的矩陣等價〔秩相等〕，但是如果兩個矩陣等價，矩陣組成的列向量卻不一定等價，除非某組由另一組線性表示〔利用合并向量組極大無關(guān)組〕

　　相似和合同都是針對n階方陣而言，P^(-1)AP=B,P可逆，A,B相似

　　P^TAP=B,P可逆，那么A,B合同。

　　易知，相似，合同必等價。

　　而相似和合同聯(lián)系的核心公式則是P^(-1)=P^T，也就是實對稱正交單位化那部分，他是聯(lián)系的中心環(huán)節(jié)，所以相似不需要正交，而合同必須單位正交化了。理解下，這就是相似中為什么正交的原因，而相似必正交也來源于此。

　　容易出錯的：

　　1.極限這一塊容易出錯的不少，洛必達判定條件，這是低級錯誤小心就是了，容易出錯的是等價無窮小的代換，等價無窮小代換是有條件的，比較少明白是等價無窮小，必須極限都趨近0，然后代換的量必須是整個式子的某一個因式，作為乘除代換，例：

　　limx->0sin3x/x=3x/x

　　錯誤的有(sinx-x)/x^3=(x-x)/x^3=0;

　　[(sin2x/x)-x]/x=(2-x)/x

　　第二個雖然某種意義是乘除，但是相對整個式子還是加減

　　錯誤原因：如果你深知泰勒公式會明白，其實等價無窮小就是泰勒公式第一部分代換sinx=x-x^3/6……,作為一個因式有沒有后者沒關(guān)系，這點你可以從多項式求極限中看出來，次數(shù)比較小的項決定，一旦放入加法中就必須注意了，某一項是極有可能約掉了正如錯誤例子，你帶入試試，把后者省了結(jié)果完全不同。所以加減法中要用只能是泰勒公式，因為等價無窮小太簡了，后來想了想，如果非要用等價代換，保證以下條件：代換后盡量分子分母不為0，而且代換出來的沒運算前保證x次數(shù)大于分母的，當(dāng)然這有些羅嗦了，總之，要注意。

　　在等價無窮小代換中注意以上規(guī)則后，能換就換例sinx*Inx x趨近0

　　不要因為它在左邊不敢換，否則很麻煩的。

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