線(xiàn)性代數(shù)的學(xué)習(xí)切入點(diǎn)：線(xiàn)性方程組。換言之，可以把線(xiàn)性代數(shù)看作是在研究線(xiàn)性方程組這一對(duì)象的過(guò)程中建立起來(lái)的學(xué)科。

　　線(xiàn)性方程組的特點(diǎn)：方程是未知數(shù)的一次齊次式，方程組的數(shù)目s和未知數(shù)的個(gè)數(shù)n可以相同，也可以不同。

　　關(guān)于線(xiàn)性方程組的解，有三個(gè)問(wèn)題值得討論：(1)、方程組是否有解，即解的存在性問(wèn)題;(2)、方程組如何求解，有多少個(gè)解;(3)、方程組有不止一個(gè)解時(shí)，這些不同的解之間有無(wú)內(nèi)在聯(lián)系，即解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題。

　　高斯消元法，比較基礎(chǔ)和比較直接的求解線(xiàn)性方程組的方法，其中涉及到三種對(duì)方程的同解變換：(1)、把某個(gè)方程的k倍加到另外一個(gè)方程上去;(2)、交換某兩個(gè)方程的位置;(3)、用某個(gè)常數(shù)k乘以某個(gè)方程。我們把這三種變換統(tǒng)稱(chēng)為線(xiàn)性方程組的初等變換。

　　任意的線(xiàn)性方程組都可以通過(guò)初等變換化為階梯形方程組。

　　由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個(gè)未知數(shù)的值，從而求得方程組的解。

　　對(duì)方程組的解起決定性作用的是未知數(shù)的系數(shù)及其相對(duì)位置，所以可以把方程組的所有系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)按原來(lái)的位置提取出來(lái)，形成一張表，通過(guò)研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個(gè)數(shù)按某種方式構(gòu)成的表稱(chēng)為矩陣。

　　可以用矩陣的形式來(lái)表示一個(gè)線(xiàn)性方程組，這至少在書(shū)寫(xiě)和表達(dá)上都更加簡(jiǎn)潔。

　　系數(shù)矩陣和增廣矩陣。

　　高斯消元法中對(duì)線(xiàn)性方程組的初等變換，就對(duì)應(yīng)的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對(duì)應(yīng)的是階梯形矩陣。換言之，任意的線(xiàn)性方程組，都可以通過(guò)對(duì)其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。

　　階梯形矩陣的特點(diǎn)：左下方的元素全為零，每一行的第一個(gè)不為零的元素稱(chēng)為該行的主元。

　　對(duì)不同的線(xiàn)性方程組的具體求解結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)(有唯一解、無(wú)解、有無(wú)窮多解)，再經(jīng)過(guò)嚴(yán)格證明，可得到關(guān)于線(xiàn)性方程組解的判別定理：首先是通過(guò)初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現(xiàn)0=d這一項(xiàng)，則方程組無(wú)解，若未出現(xiàn)0=d一項(xiàng)，則方程組有解;在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數(shù)目r等于未知量數(shù)目n，方程組有唯一解，若r

　　在利用初等變換得到階梯型后，還可進(jìn)一步得到比較簡(jiǎn)形，使用比較簡(jiǎn)形，比較簡(jiǎn)形的特點(diǎn)是主元上方的元素也全為零，這對(duì)于求解未知量的值更加方便，但代價(jià)是之前需要經(jīng)過(guò)更多的初等變換。在求解過(guò)程中，選擇階梯形還是比較簡(jiǎn)形，取決于個(gè)人習(xí)慣。

　　常數(shù)項(xiàng)全為零的線(xiàn)性方程稱(chēng)為齊次方程組，齊次方程組必有零解。

　　齊次方程組的方程組個(gè)數(shù)若小于未知量個(gè)數(shù)，則方程組一定有非零解。