891數(shù)學(xué)專業(yè)綜合課考試大綱（2011版）
　　請考生注意：
　　1、數(shù)學(xué)專業(yè)綜合課試題含常微分方程、近世代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計三部分的內(nèi)容。 
　　2、每部分試題滿分50分。
　　常微分方程部分的考試大綱
　　一、基本內(nèi)容與要求
　　(一) 初等積分法
　　1、 熟練掌握變量可分離方程、齊次方程、一階線性方程、全微分方程等的解法.
　　2、 會應(yīng)用降階法解某些高階方程。
　　3、 會建立簡單的微分方程模型。
　　(二) 線性方程和線性方程組
　　1、 掌握線性微分方程(組)的一般理論.
　　2、 掌握常系數(shù)線性微分方程(組)的解法.
　　3、 能應(yīng)用線性方程(組)解的結(jié)構(gòu)對方程的解做簡單定性分析.
　　4、 了解二階線性方程的冪級數(shù)解法和Laplace方法。
　　5、 會應(yīng)用二階常系數(shù)線性方程分析振動現(xiàn)象。
　　(三) 基本定理
　　1、掌握初值問題的存在、唯一性定理和解的延拓及解關(guān)于初值的連續(xù)、可微性定理
　　2、掌握解的存在、唯一性定理及證明。
　　（四）穩(wěn)定性與定性理論初步
　　1、掌握定性、穩(wěn)定性與極限環(huán)等基本定義。
　　2、會畫簡單的相圖。
　　3、會分析二階常系數(shù)線性方程組的奇點并畫出相圖。
　　二、參考書目 
　　《常微分方程》東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編（第三版） 高等教育出版社

　　近世代數(shù)部分的考試大綱
　　一、基本內(nèi)容與要求
　　(一)基本概念
　　1、理解集合與映射的概念，掌握集合之間的運(yùn)算，能夠在集合之間建立映射關(guān)系，并判斷兩個映射是否相同。
　　2、掌握代數(shù)運(yùn)算與映射的關(guān)系，能夠建立有限集合之間的運(yùn)算表，并判斷給定的運(yùn)算是否滿足結(jié)合律、交換律以及兩種分配律。
　　3、掌握同態(tài)映射、同構(gòu)映射和自同構(gòu)的概念，理解同態(tài)與同態(tài)滿射（滿同態(tài)）的關(guān)系，并能判定映射是否是同態(tài)滿射（滿同態(tài)），掌握具有同態(tài)滿射（滿同態(tài)）的集合之間的聯(lián)系。能夠判定給定的映射和運(yùn)算是否是同構(gòu)關(guān)系，能建立兩個集合之間的同構(gòu)映射。
　　4、理解關(guān)系和等價關(guān)系的概念，掌握等價關(guān)系和分類之間的轉(zhuǎn)換定理，和熟練判定給定的關(guān)系是否是等價關(guān)系。并熟悉剩余類的基本特性，能夠建立整數(shù)間給定的模的剩余類。
　　(二) 群論
　　1、掌握群的定義和例子，理解左、右單位元，左、右逆元的意義，掌握有限群、無限群、群的階和交換群的概念。充分掌握單位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定義，能熟練掌握群與階的關(guān)系，會計算群元素的階。
　　2、理解群同構(gòu)、同態(tài)的定義，掌握和一個群同態(tài)的集合也成群的證明，掌握群同態(tài)的有關(guān)性質(zhì)，并能證明在同態(tài)滿射下，單位元的象也是單位元，元a的逆元的象是a的象的逆元。
　　3、掌握循環(huán)群的定義和由生成元決定循環(huán)群的性質(zhì)與特點，熟練掌握剩余類加群，并能證明任一循環(huán)群可以與整數(shù)加群或模為n的剩余類加群同構(gòu)。以及與循環(huán)群同態(tài)的群的性質(zhì)。
　　4、熟練掌握變換的符號的運(yùn)用和變換的乘法，能證明可以成群的變換只包含一一變換，且單位元一定是恒等變換。了解變換群的定義和性質(zhì)。掌握任何一個群都同一個變換群同構(gòu)的定理的證明。掌握元素求逆等運(yùn)算。
　　5、理解置換與置換群的定義與性質(zhì)，掌握每一個n元置換都可以寫成若干個互相沒有共同數(shù)字的（不相連）的循環(huán)置換（輪換）的乘積的證明與運(yùn)用。理解有限群與置換群的同構(gòu)關(guān)系。
　　6、掌握子群的定義，掌握群的子集成群的充分而且必要的條件與判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群與子群中的單位元與逆元的關(guān)系，以及子群與子群之間的關(guān)系。
　　7、掌握陪集的定義，以及與等價關(guān)系和分類之間的關(guān)系，了解子群與陪集之間的映射關(guān)系，并能證明有限群的階能被元的階整除的定理，以及階為素數(shù)的群一定為循環(huán)群的證明。
　　8、 了解不變子群（正規(guī)子群）的定義，能掌握一個群的子群是不變子群（正規(guī)子群）的充分必要條件的定理，理解商群的定義，能證明一個群同它的每一個商群同態(tài)的定理，了解核的定義，掌握兩個具有同態(tài)關(guān)系的群之間子群或不變子群（正規(guī)子群）的象的性質(zhì)。并能將子群或不變子群（正規(guī)子群）的性質(zhì)運(yùn)用到循環(huán)群、變換群等中。
　　(三) 環(huán)與域
　　1、理解交換環(huán)的定義和例子，熟悉單位元、逆元和零因子的性質(zhì)并能熟練運(yùn)用。掌握消去律與零因子的關(guān)系。
　　2、了解除環(huán)的定義，與能舉出域的例子，除環(huán)與加群、乘群的關(guān)系。熟悉無零因子環(huán)中的計算規(guī)則，掌握無零因子環(huán)中特征的性質(zhì)
　　3、理解子環(huán)、子除環(huán)的定義，并能寫出子整環(huán)、子域的概念，了解同態(tài)、同構(gòu)環(huán)之間的性質(zhì)，了解多項式成環(huán)，熟悉多項式環(huán)中的未定元、次數(shù)以及系數(shù)、無關(guān)未定元的作用。
　　4、掌握理想的定義，理解理想的構(gòu)成，以及零理想、單位理想和主理想的構(gòu)成，能判斷一個子環(huán)是否為理想，和理想是否為主理想。了解什么是比較大理想，且和剩余類環(huán)的關(guān)聯(lián)。
　　5、 掌握沒有零因子的交換環(huán)一定是一個域的子環(huán)，了解商域的構(gòu)成，并掌握同構(gòu)的環(huán)的商域也同構(gòu)的定理。理解主理想環(huán)的概念和引理，能證明主理想環(huán)是唯一分解環(huán)。
　　6、了解歐氏環(huán)的定義，理解歐氏環(huán)、整數(shù)環(huán)都是主理想環(huán)與唯一分解環(huán)的證明，并能證明域一定是一個歐氏環(huán)。
　　二、參考書目
　　1.《近世代數(shù)初步（第二版）》，石生明著，高等教育出版社，2006年版。